数字信号处理基础书后题答案中文版Chapter 2 Solutions 2.1 最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz 。

2.2 (a)、由ω = 2πf = 20 rad/sec ，信号的频率为f = 3.18 Hz 。

信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz 。

(b)、35000π=ω，所以f = 833.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz 。

(c)、73000π=ω，所以f = 214.3 Hz ，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz 。

2.3 (a) 12580001f 1T S S ===μs (b)、最大还原频率为采样频率的一半，即4000kHz 。

2.4 ω = 4000 rad/sec ，所以f = 4000/(2π) = 2000/π Hz ，周期T = π/2000 sec 。

因此，5个周期为5π/2000 = π/400 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/π) = 4000/π Hz 。

所以采样频率为f S = 4(4000/π) = 16000/π Hz 。

因此5个周期收集的采样点为(16000/π samples/sec )(π/400 sec) = 40。

2.5 ω = 2500π rad/sec ，所以f = 2500π/(2π) = 1250 Hz ，T = 1/1250 sec 。

因此，5个周期为5/1250 sec 。

对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz ，所以采样频率为f S = 7/8(2500) = 2187.5 Hz 。

采样点数为(2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。

这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。

事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。

2.7 信号搬移发生在kf S± f 处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍-200200400600800100012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91幅度频(b) 采样频率对于这个信号来说太低了，所以混叠发生了。

混叠图用虚线展示，最后的频谱用实线展示。

2.8 蜂窝电话信号是带宽受限的。

传输范围为30 kHz 。

最小采样频率至少为60kHz 。

在这道题中，60kHz 采样频率是足够的。

传输范围的基带搬移能被一个截止频率为2.9 (a)、信号在300Hz 处的镜像出现在3001000±-, 3000±, 3001000±,3002000± Hz ，......，即–1300, –700, 300, 700, 1300, 1700, 2300 Hz ，......。

这些信号只有一个位于奈奎斯特范围内（采样后能被恢复的范围，这道题为0到500Hz ）。

真实的信号频率为300Hz ，没有混叠发生。

(b)、信号的镜像出现在6001000±-, 6000±, 6001000±,6002000±Hz ，......，即–1600, –600, –400, 400, 600, 1400, 1600, 2600Hz ，......。

这些信号只有400Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

(c)、信号的镜像出现在13001000±-, 13000±, 13001000±,13002000±Hz ，......，即–2300, –1300, –300, 300, 700, 1300, 2300, 3300Hz ，......。

这些信号只有300Hz 落在奈奎斯特范围内。

这是混叠频率。

2.10 (a)、信号在100到400Hz 发生混叠。

频率倒置不发生在基带。

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 …0 30 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002.11 8kHz 的采样频率允许奈奎斯特范围为0到4kHz 。

在采样之后，信号的频谱搬移发生在–24000 ± 25000, –16000 ± 25000, –8000 ± 25000, 0 ± 25000, 8000 ± 25000, 16000 ± 25000Hz......。

奈奎斯特范围内唯一的镜像点为1000Hz 。

这就是混叠频率。

2.12 最简单的方法是通过看这两个信号有相同的采样点来比较两者。

采样时刻由nT S n t = nT S x 1(t) x 2(t) 0 0 1.000 1.000 1 1/150 –0.809 –0.809 2 2/150 0.309 0.309 3 3/150 0.309 0.309 4 4/150 –0.809 –0.809 5 5/150 1.000 1.000 6 6/150 –0.809 –0.8092.13 由于目标的镜像出现在0 ± 0.2 MHz, 2 ± 0.2 MHz, 4 ± 0.2 MHz, … 900 ± 0.2 MHz ，目标的实际频率为900.2MHz 。

2.14 车轮每转一圈，轮胎走过πd = .635π = 1.995 m 。

自行车速为15 km/h ，即15000/3600 = 4.17 m/sec 。

因此，自行车每个轮子以cycles/sec 09.2m/cycle1.995m/sec17.4=-50050010001500-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81f幅度频率 -50050010001500-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81幅度的频率往复出现。

根据奈奎斯特采样定理，每个周期至少有两个采样点。

所以采样频率应为4.18 samples/sec。

这能通过每100s 418次快照完成。

2.15 当信号以600Hz的频率采样，正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。

由于混叠频率为150Hz。

镜像出现在0 ± 150, 600 ± 150, 1200 ±150Hz......。

只有150、450、750Hz在1kHz以下。

当采样频率为550Hz时，混叠频率为200Hz，所以镜像出现在0 ± 50, 550 ± 200, 1100 ± 200Hz......。

只有200、350、750和900Hz处在1kHz以下。

与两者都一致的正弦波频率为750Hz。

2.16 模拟电压范围为6V。

(a)量化步长为6/24 = 375 mV(b)量化步长为6/28 = 23.44 mV(c) 量化步长为6/216 = 91.55 μV2.17 (a) 28 = 256 (b) 210 = 1024 (c) 212 = 40962.18 量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级，量化程度由使用的数位来决定。

对于任意有限数位，误差一定会出现，因为量化步长的大小是非零的。

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9量化误差–0.4 0.3 –0.10.4 –0.3–0.10.4 –0.1–0.2–0.22.20 量化步长为范围/2N = 4/24 = 0.25 V。

下表标书了量化方法。

底端范围是步长的一半，顶端范围是步长的1.5倍。

所有其数字编码量化标准(V) 映射到数字编码的模拟输入范围(V)0000 –2.0 –2.0 ≤ x < –1.8750001 –1.75 –1.875 ≤ x < –1.6250010 –1.5 –1.625 ≤ x < –1.3750011 –1.25 –1.375 ≤ x < –1.1250100 –1.0 –1.125 ≤ x < –0.8750101 –0.75 –0.875 ≤ x < –0.6250110 –0.5 –0.625 ≤ x < –0.3750111 –0.25 –0.375 ≤ x < –0.1251000 0 –0.125 ≤ x < 0.1251001 0.25 0.125 ≤ x < 0.3751010 0.5 0.375 ≤ x < 0.625 1011 0.75 0.625 ≤ x < 0.875 1100 1.0 0.875 ≤ x < 1.125 1101 1.25 1.125 ≤ x < 1.375 1110 1.5 1.375 ≤ x < 1.625 1111 1.75 1.625 ≤ x < 2.02.21 n 模拟采样 (V) 数字编码 量化标准 (V) 量化误差 (V) 0 0.5715 001 0.625 0.0535 1 4.9575 111 4.375 –0.5825 2 0.625 001 0.625 0.0000 33.6125 110 3.750 0.1375 44.0500 110 3.750 –0.3000 5 0.9555 010 1.250 0.2945 6 2.7825 100 2.500 –0.2825 7 1.5625 011 1.875 0.3125 8 2.7500 100 2.500 –0.25 9 2.8755 101 3.1250.24952.22 动态范围为20 log (2N ) (a) 24.1 dB (b) 48.2 dB (c) 96.3 dB-2-1.5-1-0.500.51 1.52-2-1.5-1-0.500.511.52量化值1000数字编码2.23 动态范围为20 log (2N ) = 60.2 dB ，由此可以得出2N= 1023.29。

N 的值最靠近10，所以N 取10。

2.24 范围 = R, 量化步长 = QR = 1 V0.5Q = 0.1 V因此, Q = 0.2 VR/Q = 2N = 5两个量化位(N = 2)不满足需求。

至少需要三个量化位(N=3)。

2.25 比特率=B bits/sample *f samples/sec=16*8000=128kbps2.26 中间范围最大量化误差是量化步长Q 的一半。

对于范围R ，位数N 来说，步长为R/2N 因此。

R 01.02R 21Q 21N ≤= 将会保持量化误差在满意范围内。

消去R 然后解出N 为02.021N ≤，即502N ≥。

N 满足关系的最小值为N=6。

因此，最小比特率为Nf S = 6(16) = 96 kbps 。