第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①又∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b a的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是, 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc |abc|的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－204．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 .08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝ . 10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）。