K是封闭的意思，i是内部的意思
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常用建模方法的比较与应用
几何建模中表示物体形态常用方法
建模方式
应用范围局限性Fra bibliotek线框建模 表面建模
画二、三维线框图
艺术图形；形体表面显示； 数控加工
不能表示实体； 图形会有二义性
不能表示实体
物性计算；有限元分析； 实体建模 用集合运算构造形体
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二、几何建模技术的发展
线表
实
框面
体
模模
模
型型
型
20世纪70年代末，实 体造型(Solid Model) 技术逐渐成熟并实用 化。所谓实体造型是 通过简单体素的几何 变换和并、交、差集 合运算生成各种复杂 形体的建模技术。实 体模型能够包含较完 整的形体几何信息和 拓扑信息。是CAD技术 发展史上的第二次技 术革命
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建模技术是将现实世界中的物体及其属性转化为计算机内部 可数字化表示、分析、控制和输出的几何形体地方法。
建模技术是产品信息化的源头，是定义产品在计算机内部 表示的数字模型、数字信息及图形信息的工具，他为产品 设计分析、工程图生成、数控编程、数字化加工与装配中 的碰撞干涉检查、加工仿真、生产过程管理等提供有关产 品的信息描述与表达方法，是实现计算机辅助设计与制造 的前提条件，也是实现CAD/CAM一体化的核心内容。
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3、正则集合运算
具有良好边界的形体定义称为正则形体。
正则形体没有悬边、悬面或一条边有两个以上 的邻面
通过形体布尔运算实现简单形体组合 形成新的复杂形体是常用方法
两个实体进行普通布尔运算产生的结果并 不一定是实体
正则集合运算与普通集合运算关系：
式中 * 、* 分别* 为正则交、正则并和正则差
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二、几何建模技术的发展
线 框 模 型
几何建模技术产生 于20世纪60年代。 初始阶段．人们主 要采用线框结构构 造三维形体，被称 之为线框模型 (Wireframe Model)。 它仅包含物体的顶 点和棱边的信息。
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二、几何建模技术的发展
线表 框面 模模 型型
到了20世纪70年代 出现了表面模型， 它在线框模型的基 础上增加了面的信 息，使构造的形体 能够进行消隐、生 成剖面和着色处理。 这可以称为第一次 CAD技术革命。
拓扑信息反映三维形体中各几何元素的数量及其相互之间的 连接关系
对于两个形状和大小不一的实体的拓 扑关系恰好可能是等价的。典型的例 子是立方体和圆柱体。这两个实体的 几何信息是不同的，其拓扑信息是等 价的
拓扑关系允许三维实体随 意的伸张扭曲，两个形状 和大小不一样的实体的拓 扑关系可能是等价的
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2、形体
形体在计算机内采用六层拓扑结构进行定义
顶点 边的端点，为两条或两条以上边的交点， 顶点不能孤立存在于实体内或面和边的内部。 边 一维几何元素，形体相邻面的交界 环 有序、有向边组成的封闭边界 外环的边按逆时针走向，内环的边按顺时针走 向 面 二维几何元素，是形体上的一个有限、非零 的单连通区域。面由一个外环和若干个内环包 围而成，具有方向性，一般用外法矢方向作为 正方向 壳 构成一个完整实体的封闭边界，是形成封闭 的单一连通的一组面的结合。一个连通的物体 有一个外壳和若干个内壳构成 体 三维几何元素，是由若干个面包围成的封闭 空间。几何造型的最终结果就是各种形式的体。
术革命
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三、三维建模技术基础
1、三维形体的几何信息和拓扑信息 2、形体 3、正则集合运算
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1、三维形体的几何信息和拓扑信息 形体的表达建立在几何信息和拓扑信息的处理基础上
三维形体的表达
几何信息 物体在三维欧氏空间中的形
状、位置和大小。包括有关
点、线、面、体的信息。
拓扑信息 拓扑信息是指一个物体的拓
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第四章 三维几何建模技术
学习内容：
➢几何建模 ➢线框建模 ➢曲面建模 ➢实体建模 ➢特征建模
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一、几何建模
第一节 基本概念
平面图形
实体造型
建模
几何建模
几何建模系统
人对事物的认识
↓ 计算机对事物的认识
计算机以一定 的数据结构形 式对几何实体
加以描述
能够定义、描述、 生成几何实体， 并能交互编辑 的系统
0
sin45 cos45
0
100202//22
2/2 0
2/2 0 0 1
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（3）对x轴作对称变换，其变换矩阵为：
1 0 0
T3
0
1
0
0 0 1
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（4）顺时针方向旋转45度，即作旋转变换。其 变换矩阵为：
cos45 T4 sin45
0
sin45 cos45
0
100
扑元素（顶点、边和表面）
的个数、类型以及它们之间
的关系，根据这些信息可以
确定物体表面的邻接关系。
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几何信息
只用几何信息 表示物体并不 充分，常会出 现物体表示的 二义性
物体表示的二义性
五个顶点用两 种不同方式连 接，表达两种 不同的理解
几何信息必须和拓扑信息同时给出
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拓扑信息
2/2 2/2 0
2/2 2/2 0
0
0 1
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（5）反向平移x=1，回到直线原来的位置，即作平 移变换。其变换矩阵为：
1 0 0
T5
0
1
0
1 0 1
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则图形对直线x+y-1=0的对称变换矩阵T为：
T T1 T2 T3 T4 T5
0 1 0
1
0
0
1 1 1
精品
山东建筑大学《CADCAM》第四章线框曲面 建模
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作业
例二：试推导相对直线x+y-1=0对称的符合变换矩阵。
（1）向左平移x=1，使该直线通过原点，即作平移变
换。
1 0 0
T1
0
1
0
1 0 1
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（2）逆时针旋转45度，使直线与x轴重合。即 作旋转变换。
cos45 T2 sin45
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二、几何建模技术的发展
线表 框面 模模 型型
参
实 体 模 型
数 化 实 体 建
模
针对于尺寸驱 动问题，参数 化实体建模理 论的提出，是 CAD技术发展 史上的第三次 技术革命
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二、几何建模技术的发展
线表 框面 模模 型型
实 体 模 型
参 数 化 实 体 建 模
变 当实体的几何拓 量 扑关系及尺寸约 化 束关系较复杂时， 的 参数驱动难以驾 造 驭，提出了变量 型 化造型技术，这 技 是CAD技术发展 术 史上的第四次技