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人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元测试基础卷试题

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元测试基础卷试题一、选择题1.如图,已知ABC 中,4AB AC ==,6BC =,在BC 边上取一点P (点P 不与点B 、C 重合),使得ABP △成为等腰三角形,则这样的点P 共有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个2.图中不能证明勾股定理的是( )A .B .C .D .3.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC ,AD =AE ,点C ,D ,E 在同一条直线上,连接B ,D 和B ,E .下列四个结论:①BD =CE , ②BD ⊥CE , ③∠ACE +∠DBC=30°, ④()2222BE AD AB=+.其中,正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.如图,已知圆柱的底面直径6BCπ=,高3AB=,小虫在圆柱侧面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程的平方为()A.18 B.48 C.120 D.725.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的面积是( )A.2n﹣2B.2n﹣1C.2n D.2n+16.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则()A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以7.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,则BC边上的高AD为()A.8 B.9 C.245D.108.已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长( )A.4 B.16 C34D.4349.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直角边长分别为5和3,则小正方形的面积为( )A .4B .3C .2D .110.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中:“今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,ABC 中,90ACB ∠=︒,10AC AB +=尺,4BC =尺,求AC 的长. AC 的长为( )A .3尺B .4.2尺C .5尺D .4尺二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2018A 2019,则点A 2019的坐标为________.12.如图,等腰梯形ABCD 中,//AD BC ,1AB DC ==,BD 平分ABC ∠,BD CD ⊥,则AD BC +等于_________.13.已知Rt △ABC 中,AC =4,BC =3,∠ACB =90°,以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段BD 的长为_____.14.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AC 的垂直平分线交 BC 于 F ,交 AC 于 E ,交 BA 的延长线于 G ,若 EG =3,则 BF 的长是______.15.如图,在锐角ABC ∆中,2AB =,60BAC ∠=,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是______.16.如图,在□ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,且AB =3,BC =5. ①线段OA 的取值范围是______________; ②若BD -AC =1,则AC •BD = _________.17.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,AD 是角平分线,P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点,则BP +PQ 的最小值为_______.18.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,BD 是高,则点BD 的长为_____.19.如图,在四边形ABCD 中,AD =4,CD =3,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°,则2________BD =.20.如图,在等腰△ABC 中,AB =AC ,底边BC 上的高AD =6cm ,腰AC 上的高BE =4m ,则△ABC 的面积为_____cm 2.三、解答题21.如图,△ABC 和EDC ∆都是等边三角形,7,3,2AD BD CD ===求:(1)AE长;(2)∠BDC 的度数:(3)AC 的长.22.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD 中,∠ABC =70°,∠BAC =40°,∠ACD =∠ADC =80°,求证:四边形ABCD 是邻和四边形.(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A 、B 、C 三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D .,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形.(3)如图3,△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3D ,使四边形ABCD 是邻和四边形,求邻和四边形ABCD 的面积.23.在等腰Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°(1)如图1,D ,E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点,且∠DAE =45°,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后,得到△AFC ,连接DF ①求证:△AED ≌△AFD ;②当BE =3,CE =7时,求DE 的长;(2)如图2,点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点,连接AD ,以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ,当BD =3,BC =9时,求DE 的长. 24.已知ABC ∆中,AB AC =.(1)如图1,在ADE ∆中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:BD CE =(2)如图2,在ADE ∆中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;(3)如图3,在BCD ∆中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求ADAB的值.25.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,2BC AC =.(1)如图1,点D 在边BC 上,1CD =,5AD =,求ABD ∆的面积.(2)如图2,点F 在边AC 上,过点B 作BE BC ⊥,BE BC =,连结EF 交BC 于点M ,过点C 作CG EF ⊥,垂足为G ,连结BG .求证:2EG BG CG =+.26.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ,其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . (1)已知()2, 4A 、()3, 8B --,试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上,点M 的纵坐标为4,点N 的纵坐标为-1,试求M 、N 两点的距离为______;(2)已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ,你能判定此三角形的形状吗?说明理由.(3)在(2)的条件下,平面直角坐标系中,在x 轴上找一点P ,使PD PF +的长度最短,求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度.27.(1)如图1,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,AB =AC ,AD =AE ,且点D 在BC 边上滑动(点D 不与点B ,C 重合),连接EC ,①则线段BC ,DC ,EC 之间满足的等量关系式为 ;②求证:BD2+CD2=2AD2;(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD 的长.28.已知:四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合,两边分别射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAP=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,请直接判断△AEF的形状是.(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.29.菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD是对角线,点E、F分别是边AB、AD上两个点,且满足AE=DF,连接BF与DE相交于点G.(1)如图1,求∠BGD的度数;(2)如图2,作CH⊥BG于H点,求证:2GH=GB+DG;(3)在满足(2)的条件下,且点H在菱形内部,若GB=6,CH=43,求菱形ABCD的面积.30.如图1,已知△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且CD=AE,AD与BE相交于点F.(1)求证:∠ABE=∠CAD;(2)如图2,以AD为边向左作等边△ADG,连接BG.ⅰ)试判断四边形AGBE 的形状,并说明理由;ⅱ)若设BD =1,DC =k (0<k <1),求四边形AGBE 与△ABC 的周长比(用含k 的代数式表示).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】在BC 边上取一点P (点P 不与点B 、C 重合),使得ABP △成为等腰三角形,分三种情况分析:AP BP =、AB BP =、AB AP =;根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析,即可得到答案. 【详解】根据题意,使得ABP △成为等腰三角形,分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析:当AP BP =时,点P 位置再分两种情况分析: 第1种:点P 在点O 右侧,AO BC ⊥于点O∴22172AO AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设OP x = ∴2227AP AO OP x ++∵4AB AC ==∴132BO BC == ∴3BP BO OP x =+=+∴27=3x x ++ ∴2x =-,不符合题意;第2种:点P 在点O 左侧,AO BC ⊥于点O设OP x = ∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=- 273x x +=-∴2x =,点P 存在,即1BP =;当AB BP =时,4BP AB ==,点P 存在;当AB AP =时,4AP AB ==,即点P 和点C 重合,不符合题意; ∴符合题意的点P 共有:2个 故选:B . 【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识;解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质,从而完成求解.2.A解析:A 【分析】根据各个图象,利用面积的不同表示方法,列式证明结论222+=a b c ,找出不能证明的那个选项. 【详解】解:A 选项不能证明勾股定理;B 选项,通过大正方形面积的不同表示方法,可以列式()22142a b ab c +=⨯+,可得222+=a b c ;C 选项,通过梯形的面积的不同表示方法,可以列式()22112222a b ab c +=⨯+,可得222+=a b c ;D 选项,通过这个不规则图象的面积的不同表示方法,可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯,可得222+=a b c .故选:A . 【点睛】本题考查勾股定理的证明,解题的关键是掌握勾股定理的证明方法.3.B解析:B【分析】①由AB=AC ,AD=AE ,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等,由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ;②由三角形ABD 与三角形ACE 全等,得到一对角相等,再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ;③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°; ④由BD 垂直于CE ,在直角三角形BDE 中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即可作出判断.【详解】解:如图,① ∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ,即∠BAD=∠CAE ,∵在△BAD 和△CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△BAD ≌△CAE (SAS ),∴BD=CE ,故①正确;②∵△BAD ≌△CAE ,∴∠ABD=∠ACE ,∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°,∴∠BDC=90°,∴BD ⊥CE ,故②正确;③∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°,故③错误;④∵BD ⊥CE ,∴在Rt △BDE 中,利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2,∵△ADE 为等腰直角三角形,∴AE=AD ,∴DE 2=2AD 2,∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2,在Rt △BDC 中,BD BC <,而BC 2=2AB 2,∴BD 2<2AB 2,∴()2222BE AD AB<+故④错误,综上,正确的个数为2个.故选:B .【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 4.D解析:D【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.【详解】解:把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A ,C 的最短距离为线段AC 的长.∵已知圆柱的底面直径6BC π=, ∴623AD ππ=⋅÷=, 在Rt ADC ∆中,90ADC ∠=︒ ,3CD AB ==,∴22218AC AD CD =+=,∴从C 点爬到A 点,然后再沿另一面爬回C 点,则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==.故选D.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答.5.A解析:A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边,然后再求面积,观察发现规律,即可正确作答.【详解】解:∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形121111222ABC S -∆∴=⨯⨯== , ∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=223212212:2122122AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ,故答案为A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边,同时观察、发现也是解答本题的关键.6.A解析:A【解析】试题分析:剪拼如下图:乙故选A考点:剪拼,面积不变性,二次方根7.C解析:C【分析】本题根据所给的条件得知,△ABC 是直角三角形,再根据三角形的面积相等即可求出BC 边上的高.【详解】∵AB =8,BC =10,AC =6,∴62+82=102,∴△ABC 是直角三角形,∠BAC =90°,则由面积公式可知,S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD , ∴AD =245.故选C. 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理,需要先证得三角形为直角三角形,再利用三角形的面积公式求得AD 的值.8.D解析:D【解析】试题解析:当3和52235+34当52253-.故选D .9.A解析:A【分析】根据直角三角形的两直角边长分别为5和3,可计算出正方形的边长,从而得出正方形的面积.【详解】解:3和5为两条直角边长时,小正方形的边长=5-3=2,∴小正方形的面积22=4;综上所述:小正方形的面积为4;故答案选A .【点睛】本题考查了勾股定理及其应用,正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.10.B解析:B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x 尺,则斜边为(10)x -尺,利用勾股定理解题即可.【详解】解:设竹子折断处离地面x 尺,则斜边为(10)x -尺,根据勾股定理得:2224(10)x x +=-.解得: 4.2x =,∴折断处离地面的高度为4.2尺,故选:B .【点睛】此题考查了勾股定理的应用,解题的关键是利用题目信息构造直角三角形,从而运用勾股定理解题.二、填空题11.(21009,0).【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1,OA 2=1,OA 3=2,OA 4=3,…OA 2019=2018,再利用1A 、2A 、3A …,每8个一循环,再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上,即可确定点A 2019的坐标.【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,∴OA 1=1,OA 2,OA 3=)2,…,OA 2019=)2018,∵A 1、A 2、A 3、…,每8个一循环,再回到y 轴的正半轴,∴2019÷8=252…3,∴点A 2019在x 轴正半轴上.∵OA 2019=)2018,∴点A 2019的坐标为(2018,0)即(21009,0).故答案为:(21009,0).【点睛】本题考查了规律型:点的坐标,等腰直角三角形的性质:等腰直角三角形的两底角都等于45°;斜边等于直角边的2倍.也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征. 12.3【分析】由//AD BC ,BD 平分ABC ∠,易证得ABD ∆是等腰三角形,即可求得1AD AB ==,又由四边形ABCD 是等腰梯形,易证得2C DBC ∠=∠,然后由BD CD ⊥,根据直角三角形的两锐角互余,即可求得30DBC ∠=︒,则可求得BC 的值,继而求得AD BC +的值.【详解】解:∵//AD BC ,AB DC =,∴C ABC ∠=∠,ADB DBC ∠=∠,∵BD 平分ABC ∠,∴2ABC DBC ∠=∠,ABD DBC ∠=∠,∴ABD ADB ∠=∠,∴1AD AB ==,∴2C DBC ∠=∠,∵BD CD ⊥,∴90BDC ∠=︒,∵三角形内角和为180°,∴90DBC C ∠+∠=︒,∴260C DBC ∠=∠=︒,∴2212BC CD ==⨯=,∴123AD BC +=+=.故答案为:3.【点睛】本题主要考查对勾股定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.13.7【分析】分三种情形讨论:(1)如图1中,以点C所在顶点为直角时;(2)如图2中,以点D所在顶点为直角时;(3)如图3中,以点A所在顶点为直角时.【详解】(1)如图1中,以点C所在顶点为直角时.∵AC=CD=4,BC=3,∴BD=CD+BC=7;(2)如图2中,以点D所在顶点为直角时,作DE⊥BC与E,连接BD.在Rt△BDE中DE=2,BE=5,∴BD2229=+=;DE BE(3)如图3中,以点A所在顶点为直角时,作DE⊥BC于E,在Rt△BDE中,DE=4.BE=7,∴BD2265=+=.DE BE故答案为:7或29或65.【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.14.4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,求出∠B=∠C=∠G=30°,根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF,即可求出FG,再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG,∴AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,∵∠BAC=120°,∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=30°,∴∠B=∠G,∴BF=FG,∵在Rt△AEG中,∠G=30°,EG=3,∴AG=2AE,即(2AE)2=AE2+32,∴AE=3(负值舍去)即CE=3,同理在Rt△CEF中,∠C=30°,CF=2EF,(2EF)2=EF2+(3)2,∴EF=1(负值舍去),∴BF=GF=EF+CE=1+3=4,故答案为4.【点睛】本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.15.3.【分析】作点B关于AD的对称点B′,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,根据轴对称确定最短路线问题,B′N的长度即为BM+MN的最小值,根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形,再根据等边三角形的性质求解即可.【详解】如图,作点B关于AD的对称点B′,由垂线段最短,过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M,B′N最短,由轴对称性质,BM=B′M,∴BM+MN=B′M+MN=B′N,由轴对称的性质,AD垂直平分BB′,∴AB=AB′,∵∠BAC=60°,∴△ABB′是等边三角形,∵AB=2,∴B′N=2×3=3, 即BM+MN 的最小值是3.故答案为3.【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题,等边三角形的判定与性质,确定出点M 、N 的位置是解题的关键,作出图形更形象直观.16.①1<OA <4. ②672. 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1<OA <4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知,ABF 全等DCE ,由题意知,22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +, ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-,2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68,BD -AC =1,两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1, ∴AC •BD =672.17.6【解析】∵AB=AC ,AD 是角平分线,∴AD ⊥BC ,BD=CD ,∴B 点,C 点关于AD 对称,如图,过C 作CQ ⊥AB 于Q ,交AD 于P ,则CQ=BP+PQ 的最小值,根据勾股定理得,AD=8,利用等面积法得:AB⋅CQ=BC⋅AD,∴CQ=BC AD AB⋅=12810⨯=9.6故答案为:9.6.点睛:此题是轴对称-最短路径问题,主要考查了角平分线的性质,对称的性质,勾股定理,等面积法,用等面积法求出CQ是解本题的关键.18.485【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8,然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯,解得BD=485.19.41【解析】作AD′⊥AD,AD′=AD,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD与△CAD′中,;BA CABAD CADAD AD===⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD≌△CAD′(SAS),∴BD=CD′,∠DAD′=90°,由勾股定理得22AD AD+',∠D′DA+∠ADC=90°,由勾股定理得22DC DD+'41BD2=41.故答案是:41.20.【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ,在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36,依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高,BE 是AC 边上的高, ∴12AC•BE=12BC•AD, ∵AD=6,BE =4, ∴AC BC =32, ∴22AC BC =94, ∵AB=AC ,AD⊥BC,∴BD=DC =12BC , ∵AC 2﹣CD 2=AD 2,∴AC 2=14BC 2+36, ∴221364BC BC +=94, 整理得,BC 2=3648⨯, 解得:BC=∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为:【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用,找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键.三、解答题21.(12)150°;(3【分析】(1)根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ,再根据全等三角形的性质即得结果;(2)在△ADE 中,根据勾股定理的逆定理可得∠AED =90°,进而可求出∠AEC 的度数,再根据全等三角形的性质即得答案;(3)过C 作CP ⊥DE 于点P ,设AC 与DE 交于G ,如图,根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长,进而可得AE =CP ,然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ,于是可得AG =CG ,PG =EG ,根据勾股定理可求出AG 的长,进一步即可求出结果.【详解】解:(1)∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形,∴BC =AC ,CD =CE =DE =2,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠BCD =∠ACE ,在△BCD 与△ACE 中,∵BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,CD =CE ,∴△BCD ≌△ACE ,∴AE =BD =3; (2)在△ADE 中,∵7,3,2AD AE DE ===, ∴DE 2+AE 2=()()222237+==AD 2, ∴∠AED =90°,∵∠DEC =60°,∴∠AEC =150°,∵△BCD ≌△ACE ,∴∠BDC =∠AEC =150°;(3)过C 作CP ⊥DE 于点P ,设AC 与DE 交于G ,如图,∵△CDE 是等边三角形,∴PE =12DE =1,CP 22213-=,∴AE =CP ,在△AEG 与△CPG 中,∵∠AEG =∠CPG =90°,∠AGE =∠CGP ,AE =CP ,∴△AEG ≌△CPG ,∴AG =CG ,PG =EG =12,∴AG =()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, ∴AC =2AG =13.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识,熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.22.(1)见解析;(2)见解析;(3)43或63【分析】(1)先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数,从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2)以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与网格的交点,以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求.(3)先根据勾股定理求得AC 的长,再分类计算即可:①当DA=DC=AC 时;②当CD=CB=BD 时;③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时.【详解】(1)∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°,∴∠ACB =∠ABC ,∴AB =AC .∵∠ACD =∠ADC ,∴AC =AD ,∴AB =AC =AD .∴四边形ABCD 是邻和四边形;(2)如图,格点D 、D'、D''即为所求作的点;(3)∵在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3∴AC ()22222234AB BC +=+=,显然AB ,BC ,AC 互不相等.分两种情况讨论:①当DA =DC =AC=4时,如图所示:∴△ADC为等边三角形,过D作DG⊥AC于G,则∠ADG=160302⨯︒=︒,∴122AG AD==,22224223DG AD AG=-=-=,∴S△ADC=1423432⨯⨯=,S△ABC=12AB×BC=23,∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63;②当CD=CB=BD=23时,如图所示:∴△BDC为等边三角形,过D作DE⊥BC于E,则∠BDE=160302⨯︒=︒,∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=,∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F,∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒,∴DF=123S△ADB=12332⨯=,∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3;③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时,邻和四边形ABCD 不存在.∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题,考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点,数形结合并读懂定义是解题的关键.23.(1)①见解析;②DE =297;(2)DE 的值为 【分析】(1)①先证明∠DAE =∠DAF ,结合DA =DA ,AE =AF ,即可证明;②如图1中,设DE =x ,则CD =7﹣x .在Rt △DCF 中,由DF 2=CD 2+CF 2,CF =BE =3,可得x 2=(7﹣x )2+32,解方程即可;(2)分两种情形:①当点E 在线段BC 上时,如图2中,连接BE .由△EAD ≌△ADC ,推出∠ABE =∠C =∠ABC =45°,EB =CD =5,推出∠EBD =90°,推出DE 2=BE 2+BD 2=62+32=45,即可解决问题;②当点D 在CB 的延长线上时,如图3中,同法可得DE 2=153.【详解】(1)①如图1中,∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后,得到△AFC ,∴△BAE ≌△CAF ,∴AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∵∠BAC =90°,∠EAD =45°,∴∠CAD +∠BAE =∠CAD +∠CAF =45°,∴∠DAE =∠DAF ,∵DA =DA ,AE =AF ,∴△AED ≌△AFD (SAS );②如图1中,设DE =x ,则CD =7﹣x .∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠B =∠ACB =45°,∵∠ABE =∠ACF =45°,∴∠DCF =90°,∵△AED ≌△AFD (SAS ),∴DE =DF =x ,∵在Rt △DCF 中, DF 2=CD 2+CF 2,CF =BE =3,∴x 2=(7﹣x )2+32,∴x =297, ∴DE =297; (2)∵BD =3,BC =9,∴分两种情况如下:①当点E 在线段BC 上时,如图2中,连接BE .∵∠BAC =∠EAD =90°,∴∠EAB =∠DAC ,∵AE =AD ,AB =AC ,∴△EAB ≌△DAC (SAS ),∴∠ABE =∠C =∠ABC =45°,EB =CD =9-3=6,∴∠EBD =90°,∴DE 2=BE 2+BD 2=62+32=45,∴DE =35; ②当点D 在CB 的延长线上时,如图3中,连接BE .同理可证△DBE 是直角三角形,EB =CD =3+9=12,DB =3,∴DE 2=EB 2+BD 2=144+9=153,∴DE =317, 综上所述,DE 的值为35或317.【点睛】本题主要考查旋转变换的性质,三角形全等的判定和性质以及勾股定理,添加辅助线,构造旋转全等模型,是解题的关键.24.(1)详见解析;(241;(33【分析】(1)证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得;(2)连接BD ,证1302FEA AED ∠=∠=,证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5,利用勾股定理求解;(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=,利用勾股定理得AE 2AB =,3AB ,根据(1)思路得3AB .【详解】(1) 证明:∵∠DAE=∠BAC ,∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ,即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中,AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△ABD(SAS),∴BD CE =;(2)连接BD因为AD AE =, 60DAE BAC ∠=∠=,所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS),所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25.(1)3;(2)见解析.【分析】(1)根据勾股定理可得AC ,进而可得BC 与BD ,然后根据三角形的面积公式计算即可; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ,由已知易得BE ∥AC ,于是∠E =∠EFC ,由于CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ,于是可得∠E =∠BCG ,然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ,可得BG =BH ,CG =EH ,从而△BGH 是等腰直角三角形,进一步即可证得结论.【详解】解:(1)在△ACD 中,∵90ACB ∠=︒,1CD =,5AD =∴222AC AD CD =-=,∵2BC AC =,∴BC=4,BD =3,∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则∠CBG +∠CBH =90°,∵BE BC ⊥,∴∠EBH +∠CBH =90°,∴∠CBG =∠EBH ,∵BE BC ⊥,90ACB ∠=︒,∴BE ∥AC ,∴∠E =∠EFC ,∵CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,∴∠EFC +∠FCG =90°,∠BCG +∠FCG =90°,∴∠EFC =∠BCG ,∴∠E =∠BCG ,在△BCG 和△BEH 中,∵∠CBG =∠EBH ,BC=BE ,∠BCG =∠E ,∴△BCG ≌△BEH (ASA ), ∴BG =BH ,CG =EH ,∴222GH BG BH BG =+=,∴2EG GH EH BG CG =+=+.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识,属于常考题型,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.26.(1)13,5;(2)等腰直角三角形,理由见解析;(3)当P 的坐标为(1304,)时,PD+PF 73【解析】【分析】(1)根据阅读材料中A 和B 的坐标,利用两点间的距离公式即可得出答案;由于M 、N 在平行于y 轴的直线上,根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; (2)由三个顶点的坐标分别求出DE ,DF ,EF 的长,即可判定此三角形的形状;(3)作F 关于x 轴的对称点F',连接DF',与x 轴交于点P ,此时PD PF +最短,最短距离为DF',P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解:(1)∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++=故A 、B 两点间的距离为:13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上,点M 的纵坐标为4,点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.(2)∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-= ()()22EF 343252=--+-=∴DE=DF ,222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形(3)作F 关于x 轴的对称点F',连接DF',与x 轴交于点P ,此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D (1,6),F'(4,-2)代入得:642k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为:826y 33x =-+ 令y=0,解得13x 4=,即P 的坐标为(1304,) ∵PF=PF'∴PD+PF=PD+ PF'= DF'()()22146273-++=故当P 的坐标为(1304,)时,PD+PF 73 【点睛】本题属于一次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点,弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.27.(1)①BC =DC +EC ,理由见解析;②证明见解析;(2)6.【解析】【分析】(1)证明△BAD ≌△CAE ,根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD =CE ,∠ACE =∠B ,得到∠DCE =90°,根据勾股定理计算即可;(3)作AE ⊥AD ,使AE =AD ,连接CE ,DE ,证明△BAD ≌△CAE ,得到BD =CE =9,根据勾股定理计算即可.【详解】(1)①解:BC =DC +EC ,理由如下:∵∠BAC =∠DAE =90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=EC,∴BC=DC+BD=DC+EC,;故答案为:BC=DC+EC;②证明:∵Rt△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,由(1)得,△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ACE=∠B=45°,∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴CE2+CD2=ED2,在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2;(2)解:作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,如图2所示:∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD与△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE=9,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,∴∠EDC=90°,∴DE===6,∵∠DAE=90°,∴AD=AE=DE=6.【点睛】本題是四边形综合题目,考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强,熟练掌握等腰直角三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.28.(1)△AEF是等边三角形,理由见解析;(2)见解析;(3)点F到BC的距离为3﹣.【解析】【分析】(1)连接AC,证明△ABC是等边三角形,得出AC=AB,再证明△BAE≌△DAF,得出AE =AF,即可得出结论;(2)连接AC,同(1)得:△ABC是等边三角形,得出∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,再证明△BAE≌△CAF,即可得出结论;(3)同(1)得:△ABC和△ACD是等边三角形,得出AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,证明△BAE≌△CAF,得出BE=CF,AE=AF,证出△AEF是等边三角形,得出∠AEF =60°,证出∠AEB=45°,得出∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,作FH⊥BC于H,在△CEF 内部作∠EFG=∠CEF=15°,则GE=GF,∠FGH=30°,由直角三角形的性质得出FG=2FH,GH=FH,CF=2CH,FH=CH,设CH=x,则BE=CF=2x,FH=x,GE=GF=2FH=2x,GH=FH=3x,得出EH=4+x=2x+3x,解得:x=﹣1,求出FH=x =3﹣即可.【详解】(1)解:△AEF是等边三角形,理由如下:连接AC,如图1所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD,∠B=∠D,∵∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∵点E是线段CB的中点,∴AE⊥BC,∴∠BAE=30°,∵∠EAF=60°,∴∠DAF=120°﹣30°﹣60°=30°=∠BAE,在△BAE和△DAF中,,∴△BAE≌△DAF(ASA),∴AE=AF,又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形;故答案为:等边三角形;(2)证明:连接AC,如图2所示:同(1)得:△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,∵∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,∵∠BCD=∠BAD=120°,∴∠ACF=60°=∠B,在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF(ASA),∴BE=CF;(3)解:同(1)得:△ABC和△ACD是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,∴∠ACF=120°,∵∠ABC=60°,∴∠ABE=120°=∠ACF,∵∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF(ASA),∴BE=CF,AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∵∠EAB=15°,∠ABC=∠AEB+∠EAB=60°,∴∠AEB=45°,∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,作FH⊥BC于H,在△CEF内部作∠EFG=∠CEF=15°,如图3所示:则GE=GF,∠FGH=30°,∴FG=2FH,GH=FH,∵∠FCH=∠ACF﹣∠ACB=60°,∴∠CFH=30°,∴CF=2CH,FH=CH,设CH=x,则BE=CF=2x,FH=x,GE=GF=2FH=2x,GH=FH=3x,∵BC=AB=4,∴CE=BC+BE=4+2x,∴EH=4+x=2x+3x,解得:x=﹣1,∴FH =x=3﹣,即点F到BC的距离为3﹣.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题综合性强,熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.29.(1)∠BGD=120°;(2)见解析;(3)S四边形ABCD=263.【解析】【分析】(1)只要证明△DAE≌△BDF,推出∠ADE=∠DBF,由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°,推出∠BGD=180°-∠BGE=120°;(2)如图3中,延长GE到M,使得GM=GB,连接BD、CG.由△MBD≌△GBC,推出DM=GC,∠M=∠CGB=60°,由CH⊥BG,推出∠GCH=30°,推出CG=2GH,由CG=DM=DG+GM=DG+GB,即可证明2GH=DG+GB;(3)解直角三角形求出BC即可解决问题;【详解】(1)解:如图1﹣1中,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AB=DB,∠A=∠FDB=60°,在△DAE和△BDF中,AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAE ≌△BDF ,∴∠ADE =∠DBF ,∵∠EGB =∠GDB+∠GBD =∠GDB+∠ADE =60°,∴∠BGD =180°﹣∠BGE =120°.(2)证明:如图1﹣2中,延长GE 到M ,使得GM =GB ,连接CG .∵∠MGB =60°,GM =GB ,∴△GMB 是等边三角形,∴∠MBG =∠DBC =60°,∴∠MBD =∠GBC ,在△MBD 和△GBC 中,MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△MBD ≌△GBC ,∴DM =GC ,∠M =∠CGB =60°,∵CH ⊥BG ,∴∠GCH =30°,∴CG =2GH ,∵CG =DM =DG+GM =DG+GB ,∴2GH =DG+GB .(3)如图1﹣2中,由(2)可知,在Rt △CGH 中,CH =3GCH =30°, ∴tan30°=GH CH, ∴GH =4,∵BG =6,∴BH =2,在Rt △BCH 中,BC 22213BH CH +=∵△ABD ,△BDC 都是等边三角形,。

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