《必修五知识点整理》 第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C ==. 正弦定理推论：①2sin sin sin a b cR A B C===（R 为三角形外接圆的半径）②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ③sin sin sin ,,sin sin sin a A b B a Ab Bc C c C===④::sin :sin :sin a b c A B C = ⑤sin sin sin sin sin sin a b c a b cA B C A B C++===++2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。

任何一个三角形都有六个元素：三条边),,(c b a 和三个内角),,(C B A .在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

3、正弦定理确定三角形解的情况图 形关 系 式 解 的 个 数 A为锐 角①sin a b A =②a b ≥一 解sin b A a b <<两 解sin a b A <无 解A为钝角或直角b a >一 解b a ≤无 解4、任意三角形面积公式为：2111sin sin sin 2224()()()()2sin sin sin 2ABC abcS bc A ac B ab C Rrp p a p b p c a b c R A B C =====---=++= 1.1.2 余弦定理5、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=6、不常用的三角函数值15°75° 105°165°αsin426-426+426+426-αcos426+426-426+-426+-αtan32-32+32--32+-1.2 应用举例（浏览即可）1、方位角：如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

2、方向角：如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。

（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）3、仰角和俯角：如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角4、视角：如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。

5、铅直平行：与海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比叫坡比h i l ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（5）坡角与坡比第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

所以，数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为{}n a .2、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

3、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）（2≥n ）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

定义式为121+=-n n a a （1>n ）4、数列与函数：数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,3,4,n …,）为定义域的函数()n f a n =，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

通项公式可以看成函数的解析式。

5、数列的单调性：若数列{}n a 满足：对一切正整数n ，都有1n n a a +>（或1n n a a +<），则称数列{}n a 为递增数列（或递减数列）。

判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性； ②作差比较法，即作差比较1+n a 与n a 的大小；2.2 等差数列1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。

定义式为d a a n n =--1（2≥n ，∈n *N ）或d a a n n =-+1（∈n *N ）3、等差中项判定等差数列：任取相邻的三项1-n a ，n a ，1+n a （∈≥n n ,2*N ），则 1-n a ，n a ，1+n a 成等差数列⇔112+-+=n n n a a a （2≥n ）⇔{}n a 是等差数列。

456、等差数列的性质：（1）若n ，m，p ，q ∈*N ，且q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（相同数量下，项数之和相等，项之和相等） （2）若p n m 2=+，则p n m a a a 2==；（3）若m ，p ，n 成等差数列，则m a ，p a ，n a 成等差关系；（等距等差）（4）若{}n a 为等差数列，⋯--,,232,k k K k k S S S S S 也成等差数列（片段等差）（5）若{}n a 成等差数列⇔q pn a n +=（公差为p ，首项为q p +）； （6）若{}n c 成等差数列，则{}n a 也成等差数列；（7）如果{}n a {}n b 都是等差数列，则{}q pa n +，{}m n qb pa +也是等差数列。

2.3 等差数列的前n 项和1、一般数列n a 与n s 的关系为()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n . 2、等差数列前n 项和的公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=3、等差数列前n 项和公式的函数特征：（1）由()n d a n d d n n na S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2221121，令2d A =，21da B -=，则{}n a 为等差数列⇔n n B An S +=2（B A 、为常数，其中A d 2=，b a a +=1）. 若0≠A ，即0≠d ，则n S 是关于n 的无常数项的二次函数。

若0=A ，即0=d ，则1na S n =.（2）若{}n a 为等差数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列，公差为2d（3）若m S n =，n S m =，则()n m S n m +-=+ （5）若n m S S =，则0=+n m S （4）若{}{}n n b a 是均为等差数列，前n 项和分别是n A 与n B ，则有1212--=m m mmB A b a（5）等差数列{}n a 中，01>a ，0<d ，则n S 有最大值，01<a ，0>d ，则n S 有最小值。

2.4 等比数列1、等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示()0q ≠.定义式：1nn a q a -=，(2n ≥,0n a ≠,0q ≠).2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比数列。

a ，G ，b 成等比数列2G bG ab G a G⇒=⇒=⇒= 两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。

3、通项公式：111n nn a a a q q q-==⋅ 其中首相为1a ，公比为q . 4、等比数列的性质：n m n m a a q -=（n ，m *∈N ）. 2.5 等比数列的前n 项和1、等比数列的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩2、等比数列的前n 项和的函数特征：当1q ≠时，()1111111n n n a q a aS q qq q-==----.记11a A q=-，即n n S Aq A =-+.（帮助判断等比数列） 3、等比数列的前n 项和的性质： 在等比数列中：（1）当k S ，2k k S S -，32k k S S -，…均不为零时，数列成等差数列。

公比为qk .（2）n mn m n m m n S S q S S q S +=+=+（3）m n mna q a -=或m n m n a a q -=⋅（m 、n *∈N ） （4）若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅（5）若{}n a 为等差数列，则{}na C 为等比数列（6）若{}n a 为正项等比数列，则{}log C n a 是等差数列 （7）若{}n a 、{}n b 均为等比数列，则{}(){}{}{}0kn n n n n n n n a a a a a b a b λλλ⎧⎫⎧⎫≠⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭、、、、等仍是等比数列。

公比分别为：11221k q q q q q q q q 、、、、、. （8）等比数列{}n a 的增减性：当101a q >⎧⎨>⎩，或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列；当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递增减数列。

4、由递推公式求数列通向法：（具体步骤参考金字塔教材） （1）累加法：()1n n a a f n +=+ 变形：()1n n a a f n +-= （2）累乘法：()1n n a a f n +=⋅ 变形：()1n na f n a +=（3）取倒数法：1nn n pa a qa p+=+ （4）构建新数列法：1n n a pa q +=+（其中p ，q 均为常数，()(1)0pq p -≠）⇒设()1n n a k p a k ++=+⇒{}n a k +为等比数列。

第三章 不等式3.1 不等式关系与不等式1、不等式定义：用不（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式，记作()()f x g x >，()()f x g x ≥等。