概率论与数理统计习题一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<x<4}=＿＿＿ (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 2．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0<x<1.6}=＿＿＿＿ (A)0.3094 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.25433．设随机变量的概率密度21()01qxx f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/24．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。

(A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿A ．B A ⊂ B ． A B ⊂ Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿A ． 0()1F x ≤≤B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==Ｄ．{}()P Xx f x ==8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．42211()ii K XX σ==-∑Ｄ．4211()3i i S X X ==-∑9．设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ．()()P A B P A += B ．()()P AB P A =Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 10. 设()2~,,X N μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<=A ．增大B ．减少C ．不变D ．增减不定11． 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==⎡⎤⎣⎦分布且则＿＿＿ Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 12．设 ()2~,X Nμσ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ. 123X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ.23i 2i 1X σ=∑ Ｄ．1X μ-13.对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿＿＿＿ A ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也互不相容B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立14.假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿＿＿＿A ．()F x ＝()F x -；B ．()F x ＝()F x --；C ．()f x ＝()f x -；D ．()f x ＝()f x --； 15若()~X t n ，那么2~X ＿＿＿＿A . (1,)F n ； Ｂ.(,1)F n ； Ｃ. 2()n χ； Ｄ. ()t n ．二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）1．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.4P X >=2．设有7件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 3．设AB φ=，()0.3,()0.4,P A P B ==则=⋃)(B A P4．设2~(,)X N μσ~X5 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。

用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”6．已知()2~2,0.4,X N -则()23E X +=7.设A 、B 、C 、是三个随机事件。

用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生”8. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kp X k A k == =则A=9．向指定目标连续射击3枪, 设i A ={第i 枪击中目标}(1,2,3)i =, 则用i A 表示事件 三枪都击中目标10．某个家庭有两个小孩，至少有一个女孩的概率(设男女出生率相同)是 11.一批产品中有8件正品2件次品, 从中任取两件, 取得一件正品一件次品的概率是 .12. 若随机变量X 只取数值0和1，其概率分布为：则p=13. 设随机变量X 概率分布为：当0<x 时，()F x =14. 设随机变量X 概率分布为：当() 4.5E X =时，a=15. 设二维随机变量)(Y X ，的联合分布列为如果X 与Y 相互独立, 则α= , β= .三、计算题1．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨⎧≤>=-.0,00,B )(5x x e x f x(1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？3．设连续型随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ，求E(x),D(x)4. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。

由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?5.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为-1,(,)0,x e f x y θθ⎧⎪=⎨⎪⎩x>0x 0≤，其中θ>0，求D(X)，E(X)。

6.设12n X ,X ,X ⋯,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1f x 0,ββ-⎧<<=⎨⎩其他，0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

7. 设2~(,)X N μσ，2,μσ为未知参数，12,,,n x x x 是来自X 的一个样本值，求2,μσ的最大似然估计量。

8. 一袋中有5个红球6个白球,从中任取2球,发现它们是同一种颜色,求这2个球是白球的概率.9. 一袋中有6个红球,8个白球,采用取后不放回的方式取球,每次取一个,求 (1)第2次才取到白球的概率；(2)如果取到一个白球就停止取球，在2次内取到白球的概率.10.A系与B系举行篮球、排球、足球比赛，篮球赛A胜B的概率为0.8，排球赛A胜B的概率为0.4，足球赛A胜B的概率为0.4，若在三项比赛中至少胜两项才算获胜，试计算哪个系获胜的概率较大．11. 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 将100人的血清混合在一起，求此中含有肝炎病毒的概率．12.某车间有5台不同类型的机器, 调查表明每台机器在1小时内平均有6分钟被使用,若各机器工作是相互独立的,问在同一单位时间内:(1)恰好有2台机器被使用的概率是多少；(2)至少有1台机器被使用的概率是多少；(3) 至多有3台机器被使用的概率是多少．13.一盒子中有5张卡片, 编号为1, 2, 3, 4, 5, 在盒子中任取3张卡片, 设取出的3张卡片中最大的号码为X, 求X的分布列．14. 设)(YX，的联合分布列为求)(YX，关于X, Y的边缘分布列．15. 盒子里有2个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取2个球，以X表示取得的黑球的个数，以Y表示取得的红球的个数．求:(1)(,)X Y的联合分布列；(2)事件}{1≤+YX的概率．概率论与数理统计习题 参考答案一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（1）A （2）A （3）B （4）B （5）A（6）D （7）A （8）C （9）A （10）C （11）A （12）C （13）D （14）C （15）A二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）（1）0.6 （2）1/7 （3）0.7 （4）N(0,1) （5） A B C （6）1.16 （7）ABCABCABC （8）1/5 （9）123AA A （10）0.75(11) 0.36 (12) 0.33 (13) 0 (14) 7 (15) 1/4 , 1/12 三、计算题1、解 (1)0501()0B B 15x x dx dx e dx ϕ+∞+∞--∞-∞=+==⎰⎰⎰故B=5 。

(2).3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞-⎰e dx e P x ξ(3)当x<0时,F(x)=0; 当0≥x 时，xx xx e dx e dx dx x x F 500515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰ϕ故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x. 2、解 由全概率公式31255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯∑ 0.0345=3、解⎰⎰--++=011)1()1(dx x x dx x x EX =0⎰⎰--++=1011222)1()1(dx x x dx x x EX =61 61)(22=-=EX EX DX4. 解：设取得白球事件为A ，则由全概率公式 P(A)=2/3×2/4+1/3×1/4=5/125. 解E(X)=x1x e dx θθθ∞-=⎰E(X 2)=x221xedx 2θθθ∞-=⎰D(X)= E(Xw2)-[E(X)]2=θ26. 解()1101E X x x dx ββββ-==+⎰由()1X E X ββ==+知矩估计量为ˆ1X Xβ=- ()11,010,n n ii i x x L βββ-=⎧<<⎪=⎨⎪⎩∏其它 ()()1ln ln 1ln ni i L n x βββ==+-∑()1ln 0ln ni i L n x βββ=∂==+∂∑故极大似然估计量为 1ln nii nXβ=-=∑7. 解()22/22/2222111,()](2)()exp[()]22nn n i i i L x x μσμπσμσσ--==--=--1分故极大似然估计量为 2211ˆˆ,()n i i X X X n μσ===-∑ 8. 解 设A ={取到2个同颜色的球},B ={取到2个白球}, 则113)(21126==C C B P ,11652116()1()111C C P A P A C =-=-=,又A B ⊂,所以求概率为()()1(|)()()2P AB P B P B A P A P A === 9. 解 (1)设)2,1( }{==i i A i 次取到白球第,{第2次才取到白球}21A A =,由乘法公()()22121222221ln ,1[]00ln ln ,1()02()2ni ni i ni i i L x n x L n x μσμμσβμσμσσσ===⎧∂⎪=-=∂⎪==+⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑∑式得, 9124138146)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2){2次内取到白球}=211A A A ,由于1A 与21A A 互不相容,所以91769124148)()()(211211=+=+=A A P A P A A A P .10. 设=A {A 系获胜 }，=1A {A 系篮球获胜}，=2A {A 系排球获胜}，=3A {A 系足球获胜}，可以认为1A ,2A ,3A 相互独立，则A 系获胜的概率为)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++= 544.0=.而456.0)(1)(=-=A P B P ，故A 系获胜的概率较大.11. 解 设i A ={第i 个人的血清中含有肝炎病毒})100,,2,1( =i ,显然,n A A A ,,,21 相互独立,所求事件的概率为=)(21n A A A P )()()(110021A P A P A P -.3302.0)996.0(1100=-=12. 解 设同一单位时间内被使用机器的台数为X , 由题意得, 在同一单位时间内每台机器被使用的概率是0.1, 显然)1.0 ,5(~B X , 则(1)0729.0)9.0()1.0(}2{3225===C X P ．(2)40951.0)9.0(1)9.0()1.0(1)1(1}1{55005=-=-=<-=≥C X P X P ．(3) 99954.0)9.0()1.0(}3{355==≤∑=-k k k kCX P ．13. 解 随机变量X 的可能取值为3, 4, 5, 且1011}3{35===C X P , 103}4{3523===C C X P , 106}5{3524===C C X P因此分布列为。