辅助角公式专题训练2013.3
一．知识点回顾
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =
++++a b x a a b
x b a b
222
2
2
2
(sin cos )·
·。

记
a a b
2
2
+=cos θ，
b a b 22
+=sin
θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+
由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*
cos ,θ=
sin θ=来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终
化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。

二．训练
1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1
）1sin 22
αα+； （2
cos αα+；
（3）sin cos αα- （4
）
sin()cos()6363
ππ
αα-+-．
（5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5
3.若函数()(1)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为 ( )
A ．1
B ．2
C 1
D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈
5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π
8
对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x ＋
π3的最大值是________．
7.2)cos()12
12
3x x π
π
+
++
=
，且 02
x π
-<<，求sin cos x x -的值。

8.求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。

6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=x 处
取得最小值，则函数)4
3(
x f y -=π
是 （ ）
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
6.D
9.
若sin(50)cos(20)x x +++=o o 0360x ≤<o o ，求角x 的值。

11.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1
(cos(),)32
b x π=+-r ,
(sin(),0)3
c x π
=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x 的值.
（本题中可以选用的公式有21cos 21
cos ,sin cos sin 222
a αααα+=
=）
参考答案
1.（6
）
sin cos )
)
a x
b x x x x ϕ+==+
其中辅助角ϕ
由cos sin ϕϕ⎧
=⎪
⎪
⎨⎪=
⎪⎩
确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b
2.[答案] C
[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π
6＋x ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π
6∈R ，∴y min ＝－1.
3.答案：B
解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π=
是，函数取得最大值为2. 故选B
4.答案 C
解析 ()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
5.解：可化为y a x =++122sin()θ。

知x =-π
8
时，y 取得最值±12+a ，即
7. [答案]
3
[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3
2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡
⎦
⎤
32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3
＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π
3
＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －1
2sin x ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6，
当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 10.解：。

)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

11. 解:21()
cos ()sin()cos()23233
h x x x x πππ
=+--+++
=
2
1cos(2)
1233sin(2)2232
x x ππ++-++ =
1212
cos(2)sin(2)22323
x x ππ+-++
=
22[cos(2)sin(2)]222323
x x ππ+-++
=
11
cos(2)2212
x π++
max
()2.2
h x ∴=+
这时1111
22,.1224
x k x k k Z ππππ+==-∈.
12.如图3,记扇OAB 的中心角为45︒
,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.
解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ.
PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.
222l MQ PQ =+
=2
2sin
(cos sin )θθθ+-
=31
(sin 2cos 2)22
θθ-+
=
13sin(2)22
θϕ-+,其中
11tan 2ϕ=,1(0,)2πϕ∈,11
arctan 2ϕ=.
04
π
θ<<Q ,111
arctan
2arctan .222
πθϕ∴<+<+
2min
322l
∴=-
,min 1
2
l -=. 所以当11
arctan 422
π
θ
=
-时, 矩形的对角线l
的最小值为
12-.
θ
N
B
M
A
Q
P
O
图3。