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第四章 不定积分⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪→→⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分1第一节 不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数：若对于,有或,称为在区间内的原函数。

I x ∈∀∈)()(x f x F='dx x f x dF )()(=)(x F )(x f I2原函数存在定理：连续函数必有原函数-—即若在上连续，则必存在，使得当时，。

)(x f I )(x F x∈I )()(x f x F='3【例1】设是在上的一个原函数,则在上（ )（A ）可导 （B ）连续（C)存在原函数 （D)是初等函数 【答案】（C ）)(x F )(x f (,)a b ()()fx F x(,)a b4【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为（A ）. （B ）。

（C ）。

（D). 【答案】（B ）)(x f x sin )(x f x sin 1+x sin 1-x cos 1+x cos 1-5二、不定积分的定义不定积分：在区间内,的带有任意常数I )(x f6项的原函数称为在区间内的不定积分，记为:，即 计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。

C x F+)()(x f I ⎰dx x f )(⎰+=C x F dx x f )()(C不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇-—无穷多条积分曲线,被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。

78【例3】若的导函数是，则的原函数是【答案】【例4】某曲线过点，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍,求此曲线方程。

【答案】()f x sin x ()f x _____.12s i n x C x C -++)2,1(12+=x y三、不定积分的性质(1） 或（2） 或（3）='⎰))((dx x f ⎰=))((dx x f d =⎰'dx x F )(⎰=)(x dF ⎰=+dx x g x f ))()(((4)【例5】(90二）设函数在上连续，则等于（A ） （B) (C) (D ）. 【答案】（B ）⎰=dx x kf )()(x f ),(+∞-∞[]⎰dx x f d )()(x f dx xf )(C xf +)(dx x f )('【例6】(89三)在下列等式中，正确的结果是（ )（A ）. （B ）。

⎰=')()(x f dx x f ⎰=)()(x f x df【答案】（C ）【例7】（95三）设，则xx f +='1)(ln。

【答案】=)(x f ()xfxx e C =++四、基本积分表⎰kdx （1)=（2)(3）（4） ；(5）(6)=⎰dx x μ=⎰x dx =⎰dx a x =⎰dx e x=⎰+21x dx =⎰-21x dx（7） （8）（9） （10）（11)=⎰xdx cos =⎰xdx sin =⎰=⎰xdx dx x 22sec cos 1⎰=⎰xdx dx x 22cscsin 1=⎰xdx x tan sec（12）【例8】 求下列不定积分（1）; (2）；【答案】（1）；（2）=⎰xdx x cot csc dx x ⎰31⎰-dx x x )5(2212Cx-+732221073x x C -+（3） （4）； 【答案】（3）；(4）⎰-dx x x 23)1(2x x e d x ⋅⎰21133l n ||2x x x Cx -+++21ln2x xe C ⋅++（5）； （6)【答案】（5）； （6）; ⎰+++dx x x x x )1(1232⎰xdx 2tan ln ||a r c t a n x x x C +-+ta n x x C -+（7)；dx x2sin 2【答案】（7）1(s i n )2x x C -+【例9】求下列不定积分：(1)；（2）【答案】(1)；21c o s 1c o s2x d x x ++⎰421(1)d xx x +⎰11t a n 22x x C ++（2）第二节 换元积分法换元积分法是把复合函数的微分法反过211a r c t a n 3x C x x -+++来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。

通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法)定理1（第一类换元法）：设具有原函数,可导，则有第一换元法换元公式：应用方法：)(u f )(x uΦ=⎰=⎰Φ'⋅ΦΦ=)())(()())((x u du u f dx x x f ⎰ΦΦ=)())((x d x f若求,如果的形式，则可利用：。

【例1】求下列不定积分（1）； （2）；⎰dx x g )()())(()(x x f x gΦ'⋅Φ=⎰⎰Φ'⋅Φ=⎰=Φ=dxx x f du u f dx x g x u )())((])([)()(⎰xdx 2cos 2⎰+dx x 231【答案】（1）;（2）s i n 2xC +1l n |32|2x C++(3)； （4);【答案】（3）； （4）⎰dx xe x22⎰dxxex32xe C +23e C +（5）； （6）；【答案】（5）； （6）⎰-dx x x 21⎰xdx tan ()322113x C--+l n |c o s|xC -+（7）； （8）;【答案】(7）;(8）⎰+)ln 21(x x dx ⎰xdx x 52cos sin l n||1122x C++s i n s i n s i n 357121357x x xC -++（9）; （10);【答案】（9)；（10） ⎰xdx 2cos ⎰xdx csc x x C++1s i n 224x x C -+ln |c s cc o t |(11）xdx x 35sec tan【答案】（11）x x xC -++753121s e c s e c s e c 753二、第二换元积分法 定理2（第二换元积分法）设为单调，可导且的函数，又有原函数，则:)(t x Φ=0)(≠Φ'xdt t t f ⎰Φ'⋅Φ)())((⎰⎰Φ'⋅Φ=-Φ=)(1])())(([)(x t dt t t f dx x f常用第二类换元法：幂代换，三角换元幂代换：含有，（注：都是一次的）nb ax+nd cx b ax ++【例1】求下列不定积分（1）；【答案】（1）dx x ⎰-+111C ⎤-⎦l n (三角换元:【例1】求下列不定积分（2）【答案】（2）⎰-dx x a 22)0(>a 22a r c s i n 2a x C a a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭（3)；【答案】（3）dx x a ⎰+221)0(>a l n ||C +（4）【答案】（4)时，原式dx a x ⎰-221)0(>a a x>1l n (C =+时,原式补充 公式 a x -<2l n (C =-+C a x x dx a x +-+=⎰-2222ln 1(13)（14）(15) (16）(17）=⎰xdx tan =⎰xdx cot =⎰xdx sec =⎰xdx csc =⎰+22x a dx（18）(19）（20）（21）=⎰-22a x dx=⎰-22x a dx=⎰+22a x dx=⎰-22a x dx。