第一讲 极限与连续主要内容概括（略） 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n Λ； （2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ； 2．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim Λ； 3．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ； （2）nn nn !lim∞→； （3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim。

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x xx x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求下列极限： （1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++； （4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； （4）)tan 11(lim 220xx x -→；（5）203)3(lim x x xx x -+→；（6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。

2．求下列极限：xx ex x x sin cos lim3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11Λ=-=⎰∑=n dx x f k f a nnk n ，证明：n n a ∞→lim 存在。

类型五：夹逼定理求极限问题：1．求⎰+∞→101sin lim dx xxn n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a nn nn n ++∞→；3．)0(21lim 2≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x n nnn 。

类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 23=++--→b axx x x ，求b a ,；2．设3)11lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++∞→b ax x x x ，求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1arctan(arctanlim 2+-∞→n nn n ππ； 2、)(lim 1211212+-+∞→-x x x e ex 。

类型八：变积分限函数求极限：1、)11)(tan (2cos lim 200-+---⎰→x x x x x tdt e x tx 。

2、设)(x f 连续，且1)1(=f ，则1)(lim3111-⎰→x dt xt f x x 。

二、连续与间断的判断1．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性。

2．讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,10,)12()12()(11x x x f x x 在0=x 处的连续性。

三、连续性命题的证明1．设),[)(+∞∈a C x f 且)(lim x f x +∞→存在，证明)(x f 在),[+∞a 上有界。

2．设)(x f 在],[b a 上连续，任取0,0>>q p ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)())()()(ξf q p b qf a pf +=+。

第二讲 微分学第一部分 一元函数微分学内容复习（略） 重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设)(0x f '存在，求)0()()(lim000≠--+→αβαβhh x f h x f h 。

2．设)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim 21=-→x x f x ，求)1(f '。

3．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，对任意的y x ,有)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，求)(x f 。

4．设)(x f 二阶连续可导，且1)(lim 0=→xx f x ，e f ='')0(，则______lim2)(0=-→x e e x x f x 。

5．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意的x 有)(2)1(x f x f =+，又当]1,0[∈x 时，有)1()(2x x x f -=，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。

（二）各类求导数的问题 1．设xxe xx ey +-+=111sin ，求y '； 2．设xx ey +-=11arctan，求y '；3．)100()2)(1(+++=x x x x y Λ，求)101(),0(yy '；4．设)(x f y =由⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 确定，求22dx yd ； 5．设xy y x =，求dxdy； 6．设y xy exy=+)tan(，求=x dxdy ；7．设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=5sin 3tan 22y t ty tex t确定，求dx dy ；8．设⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<+=0,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x在0=x 处可导，求b a ,；9．求下列函数的导数：（1）设dt t x y x ⎰=22cos ，求dx dy；（2）设⎰-=x dt x t tf y 022)(，求dxdy ；10．设)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ，且A xx f x =→)(lim，求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性。

11．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx g x f ，其中)(x g 二阶可导且1)0(=g 。

（1）当a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续；（2）求)(x f '；（3）研究)(x f '在0=x 处的连续性。

解答：（1）]cos )0()0()([lim cos )(lim)(lim 000x xg x g x g x x x g x f x x x -+-=-=→→→)0(]cos 1)0()([lim 0g xx x g x g x '=-+-=→， 于是当)0(g a '=时，)(x f 在0=x 处连续。

（2）当0=x 时，xg x xx g x f x f x x )0(cos )(lim )0()(lim 00'--=-→→ )]0(1[212sin )0()(lim )0(cos )(lim 020g x x g x g xx g x x g x x ''+=+'-'='--=→→， 即)]0(1[21)0(g f ''+='；当0≠x 时，2cos )(]sin )([)(x xx g x x g x x f +-+'='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+-+'=''+='0,cos )(]sin )([0),0(1[21)(2x x x x g x x g x x g x f 。

（3）因为200cos )(]sin )([lim)(lim x xx g x x g x x f x x +-+'='→→)0()]0(1[21]cos )(sin )([lim 20f g xx x g x x x g x '=''+=--+'=→， 所以)(x f '在0=x 处连续。

12．设)(x f 在]1,1[-上可导，)(x f 在0=x 处二阶可导，且4)0(,0)0(=''='f f ，求3)]1[ln()(limxx f x f x +-→。

13．设)1()1(21lim )(--∞→+++=x n x n n ebax e x x f ，求)(x f ，并讨论)(x f 的连续性和可导性。

（三）高阶导数问题1．设x e y xsin =，求)(n y ；2．设)23ln(2+-=x x y ，求)(n y 。

3．设)1ln()(2x x x f +=，求)0()49(f。

第二部分 一元函数微分学的应用 内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设)(x f 在0x x =的邻域内n 阶连续可导，则有))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x o x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=Λ。

2．（导数零点定理）设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且0)()(<''-+b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。

3．（导数介值定理）设设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且)()(b f a f -+'≠'，不妨设)()(b f a f -+'<'，则对任意的)](),([b f a f -+''∈η，存在),(b a ∈ξ，使得ηξ=')(f 。

4．设],[)(b a C x f ∈，且)0(0)(<>''x f ，则有))(()()()(000x x x f x f x f -'+≤≥，等号成立当且仅当0x x =。

重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含ξ不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得 0)()(2='+ξξξf f 。

2．设)(x f 在]1,0[上可微，且⎰-=3101)(3)1(dx x f e f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得0)()(=+'ξξf f 。