专题16 电学计算大题1．（2021·湖南娄底市高三零模）如图所示，水平界线MN 上方有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E ，MN 下方有垂直于纸面向外的水平匀强磁场，光滑绝缘板斜放在匀强电场中，下端C 在MN 上，板与MN间夹角θ为45°，一个质量为m ，电荷量为q 的带电粒子在板上A 点由静止释放，粒子在电场力作用下沿板向下运动，运动到C 点以一定的速度进入磁场、粒子经磁场偏转再次进入电场、并以水平向右的速度打在板上，已知AC 间的距离为L ，不计粒子的重力，求： （1）带电粒子进入磁场时速度大小； （2）粒子打在板上的位置离C 点的距离； （3）匀强磁场的磁感应强度大小。

【答案】（1） 2qEL v m=2）12L ；（3423EmqL【解析】（1）设匀强电场的电场强度大小为E ，由题意知，带电粒子沿板向下做匀加速直线运动。

根据牛顿第二定律有1sin 45qE ma ︒=解得122qEa m=设运动到C 点的速度大小为v ，根据运动学公式有212v a L =解得2qEL v m=（2）设粒子出磁场时的位置在D 点，由于粒子第二次在电场中运动做类平抛运动的逆运动，以水平方向的速度打在板上，设此过程粒子运动的加速度为2a ，根据牛顿第二定律2qE ma =平行电场方向运动的距离()22sin 45224v y L a ︒==粒子打在板上的位置离C 点的距离122d y L ==（3）粒子第二次在电场中运动，平行电场方向速度与时间的关系为sin 45qE v t m︒= 垂直电场方向位移为cos45x v t =︒⋅ 解得22x L =根据对称性可知，C 、D 间的距离为23224s x d L =+= 粒子在磁场中做圆周运动的半径2324r s L == 根据牛顿第二定律2v qvB m r=解得423EmB qL=2．（2021·湖南高三一模）如图所示，在平面直角坐标系，xOy 的第一象限内存在着垂直纸面向里大小为30 2.010T B -=⨯的匀强磁场区域Ⅰ，在第三象限内虚线和y 轴之间存在另一垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ，虚线方程5cm x =-，在第四象限内存在着沿x 轴正方向的匀强电场，一质量为m ，电荷量为q -的粒子由坐标为()0,53cm 的P 点以某一初速度0v 进入磁场，速度方向与y 轴负方向成60︒角，粒子沿垂直x 轴方向进入第四象限的电场，经坐标为()0,10cm -的Q 点第一次进入第三象限内的磁场，粒子重力不计，比荷为91.010C /kg qm=⨯，求： (1)粒子的初速度0v 大小； (2)匀强电场的电场强度E 大小；(3)若粒子从电场进入磁场区域Ⅱ时做圆周运动的圆半径2cm r =，求粒子从开始进入电场时刻到第二次从电场进入磁场区域Ⅱ时刻的时间间隔。

（2 4.4π≈）（计算结果保留两位有效数字）【答案】(1)52s 10m /⨯；(2)400V/m ；(3)61.810s -⨯【解析】(1)粒子在磁场区域I 做圆周运动2000mv B qv R= 由几何关系可知2cos305310m R -︒= 联立解得50210m /s v =⨯(2)粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的性质，则有201010m y v t -=⨯=()211cos602R at ︒-=x v at =粒子在电场中的加速度为Eq a m=粒子在x 轴方向的速度与初速度关系有0tan xv v θ=粒子的速度与初速度关系有0cos v v θ= 联立解得45θ=︒400V /m E = 52210m /s v =(3)如图，粒子在电场中先做类平抛运动271501010==s=510s 210y t v --⨯⨯⨯在磁场区域Ⅱ时做圆周运动的时间723231s 204r t v ππ-=⨯= 粒子由磁场区域Ⅱ进入电场后做类斜抛运动，由运动的分解与合成以及对称性可知时间7312101s 0t t -==⨯76123s 321510s 1.8104t t t t π--⎛⎫=++=+⨯≈⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 3．（2021·广东高三模拟）如图所示，金属板的右侧存在两种左右有理想边界的匀强磁场，磁场的上边界AE 与下边界BF 间的距离足够大。

ABCD 区域里磁场的方向垂直于纸面向里，CDEF 区域里磁场的方向垂直于纸面向外，两区域中磁感应强度的大小均为B ，两磁场区域的宽度相同．当加速电压为某一值时，一电子由静止开始，经电场加速后，以速度v 0垂直于磁场边界AB 进入匀强磁场，经2mt eBπ=的时间后，垂直于另一磁场边界EF 离开磁场。

已知电子的质量为m ，电荷量为e 。

求: （1）每一磁场的宽度d ；（2）若要保证电子能够从磁场右边界EF 穿出，加速度电压U 至少应大于多少？（3）现撤去加速装置，使ABCD 区域的磁感应强度变为2B ，使电子仍以速率v 0从磁场边界AB 射入，可改变射入时的方向（其它条件不变）。

要使得电子穿过ABCD 区域的时间最短时，求电子穿过两区域的时间t 。

【答案】（1） 022mv d eB=；（2） 204mv e ；（3） 2m eB π 【解析】（1）电子在每一磁场中运动的时间为t 1＝248t m TeB π== 故电子的在磁场中转过4π 电子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力即 20v evB m r=由图可知sin45d r =︒ 解得 022mv d eB=（2）若电子恰好不从EF 边穿出磁场，电子应和CD 相切，在ABCD 区域中转半圈后从AB 边离开磁场，设此时对应的电压为U ，电子进入磁场时的速度为v ，则2v evB m R=R d =212eU mv =解得204mv U e=（3）若要电子穿过ABCD 区域的时间最短，则需要电子对称地穿过ABCD 区域，作图 电子在两区域的半径关系r 2＝2r 1＝2mv eB由1sin 2d r θ=解得 =45θ 第一段时间为1224m t T eBθππ== 在区域CDEF 中的圆心必在EF 边上（如图内错角）Φ=θ 第二段时间224m t T eBϕππ'== 通过两场的总时间122mt t t eBπ=+=4．（2021·天津高三模拟）如图甲所示，固定平行金属导轨MN 、PQ 与水平面成37︒角倾斜放置，其电阻不计，相距为0.4m L =，导轨顶端与电阻R 相连，0.15ΩR =。

在导轨上垂直导轨水平放置一根质量为2210kg m -=⨯、电阻为0.05Ωr =的导体棒ab 。

ab 距离导轨顶端10.4m d =，导体棒与导轨间的动摩擦因数0.5μ=；在装置所在区域加一个垂直导轨平面向上的磁场，其磁感应强度B 和时间t 的函数关系如图乙所示。

（g 取210m/s ）（1）前2s 内，施加外力使导体棒保持静止，求通过导体棒的电流I 的大小和方向；（2）2s 后静止释放导体棒，已知ab 棒滑到底部前已达到最大速度a v 并匀速下滑到底部，此过程中通过的电量 3.2C q =。

求a v 的大小、以及此过程中导体棒的位移。

（3）在第2问的过程中电阻R 上产生的热量Q 。

【答案】（1）0.4A ，由b 到a ；（2）=5m/s a v ，216m d =；（3）0.29J 【解析】（1）由题意知，根据法拉第电磁感应定律可得前2s 产生的感应电动势1 1.10.10.40.4V 0.08V 2B E Ld t t ∆Φ∆-===⨯⨯=∆∆ 根据闭合电路欧姆定律有电流为0.08A=0.4A 0.150.05E I R r ==++ 根据楞次定律可知感应电流的方向为b 到a 。

（2）导体棒所受摩擦力为2210cos 0.5100.8N 0.08N f mg ==⨯⨯⨯=⨯－μθ2s 时，静止释放导体棒，导体棒沿导轨方向受到重力沿导轨的分力、沿导轨向上的滑动摩擦力、安培力，导体棒做加速度减小的加速运动，当速度最大时有2mm a B Lv E I R r R r==++，2m sin f B I L mg θ+= 解得=5m/s a v 当导体棒下滑时，222B Lv B Ldq I t t R r R r=∆=∆=++∑∑计算可得导体棒的位移216m d =（3）下滑过程中根据功能关系可知系统产生的热量Q2221sin 2a mgd fd Q mv θ--=代入数据解得0.39J Q =所以电阻R 产生的热量为330.39J 0.29J 44R Q Q ==⨯≈ 5．（2021·天津高三模拟）如图所示，M 、N 为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，其左侧有一圆心为O 、半径为r 的圆形区域，区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，圆周上的点A 、圆心O 与平行板电容器上的两小孔1s 、2s 在同一水平直线上。

现有一质量为m ，电荷量为()0q q ->的带电粒子（重力忽略不计），以某一恒定的水平初速度从极板M 的中央小孔1s 处射入电容器，穿过小孔2s 后从A 处进人磁场，当平行板M 、N 间不加电压时，带电粒子恰好从O 点正下方的C 点射出磁场。

（1）求带负电的粒子的初速度大小；（2）当平行板M 、N 间加上一定电压时，带负电的粒子在磁场中运动的时间变为原来的23，求M 、N 板间的电势差MN U 。

【答案】（1）0qBr v m =；（2）22MN qB r U m=-【解析】（1）分析粒子在磁场中的运动，可知粒子在磁场中做圆周运动的半径R r =粒子在磁场中做匀速圆周运动有20mv qv B r= 解得：0qBrv m=（2）粒子在磁场中运动的周期022R mT v qBππ== 当平行板M 、N 间不加电压时，粒子在磁场中运动的时间114t T = 当平行板M 、N 间加电压时，粒子在磁场中运动的时间216t T =粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为60，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径3r r '=粒子在磁场中做匀速圆周运动有2mv qvB r ='粒子在电场中运动，由动能定理可得2201122MN mv mv qU -=- 解得在M 、N 板上所加的电势差22MNqB r U m=- 6．（2021·福建高三二模）如图甲所示，在空间中同时存在匀强电场和匀强磁场，建立空间直角坐标系Oxyz 。

一质量为m 、电荷量为(0)q q >的带电小球从z 轴上的P 点沿x 轴正方向以速度0v 射出，恰好做匀速直线运动，图乙为yOz 平面。

已知匀强磁场大小为02mgB qv =，方向与yOz 平面平行且与y 轴正方向的夹角为60︒，重力沿z 轴负方向，P 点距原点O 的距离为d ，重力加速度为g 。