证明：充分性。直接计算 A2 = STST = SIT = A 。
必要性。对矩阵
A，存在可逆矩阵
P，Q
使得 A =
P
æ ç
I
r
è
ö
0
÷ ø
Q
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)Q
。令
S
=
æ Pç
è
Ir 0
ö ÷ ø
，
T = (Ir , 0)Q ，可证 P，Q 即为所求。显然， S 和T 分别是 n ´ r 矩阵和 r ´ n 矩阵，且因 P，Q 可逆，所以
A
A) 若向量组 I 线性无关，则 s £ t ； C) 若向量组 II 线性无关，则 s £ t ；
B) 若向量组 I 线性相关，则 s > t ； D) 若向量组 II 线性相关，则 s > t 。
3) 设非齐次线性方程组 AX = b 中未定元个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则____。
相等”，“未必相等”）。必等价，未必相等
3) 设 a1,a2 ,a3 ,a4 都是 4 维列向量， A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 。已知齐次线性方程组 AX = 0 的通解是 k(0,1,1, 0)¢ 。以 A* 表示 A 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 A* X = 0 解空间的维数是____，而____是 它的一个基础解系。3，a1,a2 ,a4 或a1,a3 ,a4 4) 设 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 和 Bx = 0 分 别 有 l, m 个 线 性 无 关 解 向 量 ， 且 l + m > n ， 则 ( A + B)x = 0 ____（选填“必有”，“未必有”）非零解。必有 5) 设{x1,x2 ,...,xn} ，{h1,h2 ,...,hn}是 V 的两组基， (h1,h2 ,...,hn ) = (x1,x2 ,...,xn )P 。又若 V 中向量 a 在基{h1,h2 ,...,hn}下的坐标向量是 X ，则a 在基{x1,x2 ,...,xn} 下的坐标向量是____。 PX
7)
设
j
是
V
到
U
的线性映射，且
j
(x1
,x
2
,
x3
)
=
(h1
,h
2
)
æ ç è
0 0
1 0
0 1
ö ÷ ø
，其中
{x1
,
x2
,
x3}
， {h1
,h 2
}
分别
是 V 和 U 的一组基，则 Kerj = ____， Imj = ____。 L(x1) ， U 或 L(h1,h2 )
8)
设
A
=
æ ç è
0 1
D
A) 当 r < n 时，方程组 AX = b 有无穷多解； B) 当 r = n 时，方程组 AX = b 有唯一解；
C) 当 r < m 时，方程组 AX = b 有解；
D) 当 r = m 时，方程组 AX = b 有解。
4) 设 A 是 m ´ n 阶矩阵， B 是 n ´ m 阶矩阵，且 AB = I ，则____。A
çè1 1 1÷ø
x1, 2x2 ,x3 下的表示矩阵是____。C
æ1 2 1ö
A)
ç ç
2
0
2
÷ ÷
；
çè 1 2 1 ÷ø
æ1
1 2
1ö
B)
ç1 ç2
0
1 2
÷ ÷
；
çè 1
1 2
1 ÷ø
æ1 2 1ö
C)
ç1 ç2
0
1 2
÷ ÷
；
çè 1 2 1 ÷ø
æ1
1 2
1ö
D)
ç ç
2
0
2
÷ ÷
。
çè 1
æ0
ö
j
在
a
,j
(a
),...,j
n -1
(a
)
下的表示矩阵
ç ç
1
ç
0 O
O
÷ ÷。 ÷
ç è
1
0
÷ ø
五、 (10 分) 设 A 是 n 阶方阵且 r( A) = r 。求证 A2 = A 的充要条件是存在 n ´ r 矩阵 S 和 r ´ n 矩阵
T ，使得 A = ST ，TS = Ir ， r(S ) = r(T ) = r 。
一组基，则j(x1),...,j(xr ) 线性无关，且可证{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}是 V 的一组基。事实上，因为 V
的维数是 n，因此只要证明{j(x1),...,j(xr ),xr+1,...,xn}线性无关即可。设
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什么？
æ1 2 1ö 1 2 1
解：（法一）(a1
+
2a 2
+
a3,
2a1
+
a2
+
2a3 ,a1
+
a2
+
a3
)
=
(a1,a2 ,a3
)
ç ç
2
1
1÷÷ ， 2
1
1 = 0 ，故不
çè 1 2 1÷ø 1 2 1
是基础解系。
æ1 2 1ö
（法二）因
r
ç ç
2
1
1÷÷ = 2 < 3 ，表明它们线性相关，故不是基础解系。
7) 设 V、U、W 是数域 K 上的线性空间，又设j 、y 、 g 是都是 V 上的线性变换，则下列结论正
确的有____个。B
① Ker(j +y ) Í Kerj + Kery ；
② Im (j +y ) Í Imj + Imy ；
③ Kerj Í Ker(gj) ；
④ Imj Í Im(jg ) 。
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厦门大学《高等代数》课程试卷 10­11 学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 b 为 3 维行向量， V = {(x1, x2 , x3 ) | (x1, x2 , x3 ) = b}，则____。C
r(S ) = r(T ) = r 。下证TS = Ir 。由 A2 = A ，得
因 P，Q 可逆，所以
P
æ ç
I
r
è
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
ö
0
÷ ø
Q
=
A2
=
A
=
æ Pç
è
Ir
0
ö ÷ ø
Q
。
（*）
æ Ir ç è
0
ö ÷ ø
=
æ ç è
Ir
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
0
ö ÷ ø
。
（**）
(Ir
,
0)
æ ç è
Ir
0
ö ÷ ø
QP
æ ç è
I
r
0
ö ÷ ø
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
=
(Ir
,
æ 0) ç
è
Ir
0
ö ÷ ø
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
=
I
r
。
（法三）（**）式
=
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
, 0)QP
æ ç è
Ir 0
ö ÷ ø
(Ir
,
0)
=
æ ç è
Ir 0
ö ÷ TS ø
çè 1 2 1÷ø
（法三）因a1 + 2a2 + a3 = 3(a1 + a2 + a3 ) - (2a1 + a2 + 2a3 ) ，故不是基础解系。
四、 (10 分) 设 j 是数域 K 上 n 维线性空间 V 的线性变换，a 是 V 中一个向量，且满足j n-1(a ) ¹ 0 ，
j n (a ) = 0 。证明：a,j (a ),...,j n-1(a ) 是 V 的一组基，并求j 在这组基下的表示矩阵。
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10­11 学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷
6) 设 V1 ， V2 都 是 n 维 线 性 空 间 V 的 子 空 间 ， 且 dim(V1+V2 ) = dim V1 +1 ， 则 dim V2 - dim(V1 I V2 ) = ____。1
(Ir
,
0)
=
æTS
ç è
0
ö ÷ ø
(Ir
,
0)
=
æ TS ç è
ö
0
÷ ø
，故TS
=
Ir
。
必要性。（法四）（10 级 李荣刚）将 A 视为线性变换j 在 n 维线性空间 V 的某基下的表示矩阵，由同
构对应，则j 2 = j 。设j 的秩为 r，{xr+1,...,xn} 是 Kerj 的一组基，将扩成{x1,...,xr ,xr+1,...,xn} 为 V 的