2016年4月浙江省普通高中学业水平考试(数学)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）（ ）1. 已知集合{}1,2A =，{}(1)()0,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为A.2B.1C.1-D.2- （ ） 2. 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=A.35 B.34 C.45 D.43（ ） 3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为A.(,1)-∞-B.(,1)-∞C.(0,1)D.(1,)+∞ （ ）4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x =图象的是（ ）5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为y =x +2，则一点O 到直线l 的距离是A.12 D.2 （ ）6.tan 20tan 251tan 20tan 25+=-⋅C.1-D.1（ ）7. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（ ）8. 已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是A.内含B.外离C.相交D.相切 （ ）9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是A.()m n m n a a +=B.()nm n m a a = C.()m n m n a a -= D.()m n mn a a = （ ）10. 已知空间向量(2,1,5)a =-，(4,2,)b x =-()x R ∈.若a ⊥b ，则x =A.10-B.2-C.2D.10（ ）11. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≤≥，所表示平面区域的边界为三角形，则a 的取值范围为A.(1,)+∞B.(0,1)C.(,0)-∞D.(,1)(1,)-∞+∞（ ）12. 已知数列{}*()n a n N ∈满足12,1,n n na a a +⎧=⎨+⎩n n 为奇数为偶数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和.若520S =-，则1a 的值为 A.239-B.2031- C.6- D.2-（ ）13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为一平面.现有：命题:p 若a α⊄，b α⊂，且a ∥b ，则a ∥α命题:q 若a α⊂，b α⊂，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是A.p , q 都是真命题B.p , q 都是假命题C.p 是真命题，q 是假命题D.p 是假命题，q 是真命题（ ）14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （ ）15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是A.钝角三角形B.锐角三角形 .直角三角形 D.不能确定 （ ）16. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则12,θθ的大小关系是A.12θθ=B.12θθ>C.12θθ<D.不能确定 （ ）17. 已知平面向量,a b 满足3a =，12()b e e R λλ=+∈，其中12,e e 为不共线的单位 向量.若对符合上述条件的任意向量,a b 恒有a b -≥12,e e 夹角的最小值为A.6π B. 3π C. 23π D. 56π （ ）18. 设函数2()(,)f x ax b a b R x=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是A.(,0]-∞B.1(,]2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞二、填空题（本题有四小题，每空3分，共15分） 19.已知函数()2sin()32f x x π=++，x R ∈，则()f x 的最小正周期是 ，而最小值为____.20.设函数()2()x f x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______.21.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离心率为 . 22将棱长为1的正方体ABCD EFGH -任意平移至11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长为 . 三、解答题（本大题共3小题，10+10+11，共31分） 23.如图，将数列{}*2()n n N ∈依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n 行有n 个数. （Ⅰ）求第5行的第2个数； （Ⅱ）问数32在第几行第几个；（Ⅲ）记第i 行的第j 个数为,i j a （如3,2a 表示第3行第2个数，即3,210a =）， 求1,12,23,34,45,56,6111111a a a a a a +++++的值.24.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于 另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （Ⅰ）求△P AB 面积的最大值；（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ， 若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.25.已知函数11()f x x a x b=---（,a b 为实常数且a b <）. （Ⅰ）当1a =，3b =时，（i ）设()(2)g x f x =+，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （ii ）求证：函数()f x 在[2,3)上是增函数.（Ⅱ）设集合{}(,)()M x y y f x ==，2(,)(),2a b N x y y x R λλ⎧+⎫==-∈⎨⎬⎩⎭.若M N φ=，求λ的取值范围.答案一、选择题1.ACDAC 6.DBBDC 11.ADCAA 16.CBB 二、填空题19. π2，1 20. 10 21. 222. 2三、解答题23.解：（Ⅰ）记n a n =2，由数阵可知，第5行的第2个数为a 12，∵n a n =2，∴第5行的第2个数为24.（Ⅱ）∵n a =32，∴n =16.由数阵可知，32在第6行第1个数.（Ⅲ）由数阵可知,,,,,,,,,,,a a a a a a ======1122334455662612203042.∴，,,,,,,...()()...()a a a a a a +++++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯112233445566111111111111111611122367223677724.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.∵B 是A 关于原点O 的对称点，∴点B 为(),x y --00. 设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001222. ∵x -≤≤022，∴当x =±02时，S 有最大值2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01.∴，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭00122， ∴PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()N x y y y --=+22000121.又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k -=-=++200228141414∴()()()N k k k k k y k kk ----++==--+++222222222814112141414142114.∵点N 在椭圆内部，∴k k -<-<+22121114.解得k -<<44. 又由已知k ≠0，∴斜率k的取值范围是(,)(,)-20044. 25.解：（Ⅰ）∵,a b ==13，∴()f x x x =---1113. （ⅰ）∴()()g x f x x x =+=-+-11211. ∵()()g x g x x x x x -=-=-=-+--+-11111111, 又∵()g x 的定义域为{|,x x ≠-1且}x ≠1，∴()y g x =是偶函数. （ⅱ）设,[,)x x ∈1223且x x <12，()()()()()()()()()()x x x x f x f x x x x x x x x x -+--=---=--------1212121212112224111113131313 ∵,[,)x x ∈1223且x x <12，∴,,()()()()x x x x x x x x -<+->---->1212112204013130 综上得()(),f x f x -<120即()()f x f x <12. ∴函数()f x 在[,)23上是增函数. （Ⅱ）∵MN =∅，∴函数()y f x =与()a b y x λ+=-22的图像无公共点， 即方程()a b x x a x b λ+-=---2112无实数解，也即方程 ()()()(,a b a b x a x b x x a λ+-=---≠22且)x b ≠（﹡）无实数解. ①当λ=0时（﹡）无解，显然符合题意. ②当λ≠0时，令()()()a b y x a x b x +=---22， 变形得()[()]()a b a b a b y x x +-+=---222242. 又令(),a b t x +=-22得()()()[][]a b a b a b y t t t ---=-=--22424864. ∴当()a bt -=28，即)a b a b x +-=±24时，有min ()a b y -=-464. ∴要使（﹡）无实数解，只要(),a b a b λ--<-464，解得()b a λ<<-3640. 综上可得()b a λ≤<-3640.。