专题08 二次函数
例1 C ．
提示：③④⑤成立．
对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a
-
＝1，则a ＝2b
-代入上式，得2c ＜3b ；
对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ．
提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝22510
63
x x -
+． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝14
3＜5，故此次试跳会出现失误．
例4 （1）y
24)x - （2）P （0
，）； （3）由点点A （l ，0），C （4
，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°．
①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2
，； ②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10
，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去．
例5 由
NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152
x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21
(5)12.52x --+（2≤x ≤4）
．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21
(45)12.52
-⨯-+＝12． 例6 （l ）y
2
（2）
①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴
A （1m --，0），
B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝1
3AE 时，如图
1，
(1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---，
∴m ＝12．当AB ＝1
3
AE 时，如图2，(1)(1)m m ----＝
[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝1
2
或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．
②存在．连结AN 、NE 、EM 、MA ，依题意可得M （m -，N （m ，，即M 、N 关于原点O 对称，∴OM ＝ON ．∵A （1m --，0），E （1m +，0）．∴A 、E 关于原点O 对称，∴OA ＝OE ．∴四边形ANEM 为
平行四边形．要使平行四边形ANEM 为矩形，必须满足OM ＝OA ，即22m +＝[]2
(1)m ---，∴m ＝1．∴当m ＝1时，以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形．
A 级
1．－2，4或－8． 2．－4
3．（l ）22x x -；（2〉3或－1；（3）x ＜0或x ＞2．
4．y ＝2x x +或y ＝211
33
x x -+．
提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）． 5．D ． 6．B ． 7．D ． 8．B ．
9．（1）y ＝212
123
x x -
++
()()()(
)()()()()2
2215
9127,
,.10.1263
46906.,,,213
11.14,2,23.,22
1113
,2,=,=0
2222
0BDE ABC ABD CDE
ABP C y x x x S S S B y x x AB x P AB d
S AB d OB AO d P x x x ⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
<<=--==-==∴=∴-⇒
=在抛物线上故导弹能击中目标略
当x=3时BE=y 最短其值为此时S 由题意知轴设到距离为则
的纵坐标只能是0或4令y 0得()(
)212
, 3.0,0,3,0.,=4,x P y x =∴=
符合条件的点为P 同理当的时候
()()()()()()()
()()()1234222
2233:0,0,3,0,4,42212.
13,
23
2,3,,230339
393233,,
2424127
328
ABM
P P P y x y x x P t t M t t t t PM t t t t t t t PM S
PM OA ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=-=-----<<⎛⎫=----=-+=-+∴= ⎪⎝⎭=
⨯=综上符合条件的点有4个P 设则则当时有最大值此时点P
()22212:,,1
239. 4.28 5. 6.7.8.9.0
6
44,4;340,0,3,,33B O y AB x y x x x x x B A B B x y mx m x m x x y m π=-+≤≤<->=⎛
⎫=-++=≠== ⎪⎝⎭
级 1.13或5
2.ｌ＝-2m +8m+12
3.6
36提示设
半径为长为则
或当时当时解得即抛物线与轴的交点
()(
)40,4,23,0,0.
3x A B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C 与轴的个交点为①
,94
－=m －3,=34,=得由
若m BC AC 244;
9y x ∴=-+②()222122*********
,35,,,44
3636633
488443,3,437721
.
AC AB m m x y x x y x x m AC BC m y x x m
=-===-∴=-+=-++=-==-∴=--+若由得或若由得故所求
抛物线的解析式有上述三个
(
)()()()2200022
001110.1,, 1.441111=1,,44
1.2,,1,,.1,,
,,1,P x x PM x P y x x P PM y P Q y H R PH PM QM QR PH MN QR y ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=---+∴=-=-===-∴设点的坐标为则又点到直线的距离为以点为圆心为半径的圆
与直线相切如图分别过点作直线的垂线垂足分别为由
知同理可得都垂直于直线()()()()()()()22,,,:4,0,4,0,441
16,
,0,4,0,4.4PH MN
QM MP QR PH
QR RN NH RN HN
A B y ax bx c a x x a x APB P a =∴=∠∠∠∠-=++=+-=--=-
于是
因此Rt PHN Rt QRN,于是HNP=RNQ,从而PNM=QNM 11.提示是等腰直角三角形故点的坐标为分别求得
()1
2221
3131
20,4
12.1,,,22914x x y x b c y y y x ⎧⎧=-⎪==-+⎧⎪⎪==-∴⎨⎨
⎨=⎩⎪⎪=
=⎩⎪⎩依题意得解得
()()()()()
()()()()()()()()1222222222
239,,1,1.211,1,3,9.
2:,24,,22,,.,2,222.,24220.
=16822=
81616818A B A A P B A a a A m m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B m a m a B y x m am a a a a a a a a ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
--=∴≅∴==∴-++=-+--=---++=++证明过点分别作
过点且平行于x 轴的直线的垂线垂足分别为G,H. 设P 将点代入抛物线得0,,.
a m P A >∴无论为何值时关于的方程总有两个不相等的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点
()
()()()()222
2
23:0,,,,.,.
,,.,90
, 1.=0,=010,13.,2m y kx b k m m B n n A B AG BH x G
H AOB AB AOB y kx b AG OH AGO
OHB mn x kx b OG BH y x
m n x kx b mn b b D BPC OCP DP DC P a a =+≠∴∠==+⎧=∴=---⎨=⎩--∴=-∴=∠=∠∴==--设直线交y 轴于点D 设A 过点两点分别作垂直于轴于的外心在上由得
联立得依题意得是方程的两根即设()()()222
222122,,121214,22130.555P PQ y Q Rt PDQ PQ DQ PD a a a a P ⊥+=⎛⎫
+---=∴==-
∴- ⎪⎝⎭
过点作轴于在中即舍去。