1 T

T
0
i 2dt
电路及模拟电子技术
设 i Im sin( t )
I 1 T

T
0
i 2dt

1 T

T
0
2 Im sin 2 ω t dt
Im 2 U E m 同理： U E m 2 2 注意： i Im sin( t ) 2I sin( t )
②有效值关系：UR=RIR（或IR=GUR）
电路及模拟电子技术
用相量形式表示，则有
RI U m m RI U
其相量图如右图所示 2.电阻功率 瞬时功率：
Um Im p ui U m I m sin t (1 cos 2t ) 2 UI (1 cos 2t )
【例4-1】设F1=3＋j4，F2=10 45°。求F1+F2和F1/F2。
【解】求复数的代数和用代数式。
F2=10 45°=
10(cos45 j sin45) 7.07 j7.07
F1+F2=(3＋j4)+(7.07+j7.07)=10.07+j10.07
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转换为指数式，有
ψ1 ψ2
若
ψ1 ψ2 0
电压超前电流
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电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ2 0
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 u i u i
ωt
O
ωt
注意: 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计 时的选择起点无关。 不同频率的正弦量比较无意义。
若以正弦电流i 2I sin( t i )为例，有
i Im[ 2 Ie j i e j t ]
表示，即 其中，复常数Ie j i 称为正弦量的相量 ，用I
Ie j i I i I
t 35)V 例：u 220 2 sin(
100 60A， 100rad/s I
I U 220 2.2A R 100 U 220 2.2A R 100
f 50Hz
电阻接到220V， f 100Hz 的电源时
I
结论：
电阻电流与频率无关，电源电压有效值不变， 电流有效值也不变。
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4.3.2 纯电感电路
1.电阻电压和电流的关系
设电压和电流取关联参考方向，如图所示
可得
I I (15 2 45 5 2 30)A I 1 2 (15 j15 6.12 j3.54)A (21.12 j11.46)A 24.03 28.5 A
i 2I sin( t ) 34sin( t 28.5)A I1
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第4章 正弦交流电路
教学目标与要求
掌握正弦量的三要素以及正弦量的表示方法 掌握单一元件（电阻、电感、电容）交流电路中 电压与电流的关系 能够熟练运用相量法分析R、L、C串联的交流电 路，并熟练计算有功功率 了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念以及 功率因数的提高
了解交流电路的频率特性、谐振电路的特征
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4.2.3 正弦量的运算
1. 同频率的正弦量的加减运算
设u1 2U1 sin( t 1 ) u2 2U 2 sin( t 2 )
则
u u1 u2 Im[ 2U1e j( t ) ] Im[ 2U 2e j(t ) ]
1 2
2
i
p P o π
u
平均功率（有功功率）：
1 P T 1 T 0 pdt T 0 UI (1 cos 2t )dt 2 U UI RI 2 R
T
2πt
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【例4-3】把一个电阻值为100Ω的电阻接到220V的工频 交流电源上工作，其电流是多少？若将其接到220V， 100Hz的交流电源上工作，其电流又是多少？ 【解】 电阻接到220V工频电源时，频率
4.2.2 正弦量的相量表示
t ，则 设复数F F e j，令
F Fe
j( ω t )
F cos( t ) j F sin( t ) Im[ F ] F sin( t )
若用Im[F ]表示复数的虚部，则有
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j L
选择电流为参考正弦量（初相位设为0o）
i I m sin t
电感端电压为
di d( I m sin t ) u L L LIm cos t U m sin(t 90) dt dt
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结论
UL ① 大小关系： U L LI（ ） L 或I L L ②相位关系：电感的电流滞后电压π/2。
Ie j i I i 设正弦电流的相量为 I
将该相量乘上 e j 可得
j i j j( i ) j Ie Ie e Ie
即 相量的模不变，只是沿逆时针方向旋转了 角。
)A， 【例4-2】已知两同频正弦电流分别为 i1 30sin(t 45°
: 给出了观察正弦波的起点或参考点。
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注意：初相位可为正，也可为负。如图：
u
+

0
_
t
0
Hale Waihona Puke 电路及模拟电子技术相位差 ：
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 u Umsi n( ω t ψ1 ) 如：
i I msin(ω t ψ2 )
( t 1 ) ( t 2 )
有效值相量
220 35V U
i 100 2 sin( t 60)A
I
相量图：用来表示各个正弦量的大小 和相位关系的图形。
i

u
U
图 4.5 相量图
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特别提示
1.正弦量的相量只是用来表示正弦量，而不等 于弦量。 2.正弦量的相量一般指其有效值相量，如正弦 表示；有时也用最大值相量表 电流相量用 I 。 示，即 I m 3.只有同频率的正弦量才可以在同一个相量图 中表示，也只有同频率的正弦量之间才可以 进行比较、计算。
感抗：电压有效值与电流有效值的比值，单位：欧姆 U X L L 2πfL 结论 I 频率越高，感抗越大，电感对电流的阻碍能力越强。
电感具有通直阻交的作用。 用相量形式表示电感电压与电流关系
u
jX I jLI U L
i
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2.电感功率 瞬时功率：
e j t ] Im[ 2U e jt ] Im[ 2U 1 2 U )e j t ] Im[ 2 (U
1 2
结论 ①同频率的正弦量之和为同频率的正弦量；
e j t ] Im[ 2U
②同频率正弦量和的相量等于各正弦量的相量和。
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2. 正弦量的乘法运算
11.07 arg(F1 F2 ) arctan 47.7 10.07
F1 F2 11.07 2 10.07 2 14.95
即有
F1 F2 14.95 47.7
F1F2 （3 j4） 10 45 5 53.1 10 45 50 98.1
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4.3 单一参数的交流电路
4.3.1 纯电阻电路
1.电阻电压和电流的关系 设电压和电流取关联参考方向，如图所示 选择电流为参考正弦量（初相位设为0o） 由欧姆定律得
i
+
i I m sin t
u _
R
结论：
u Ri RIm sin t Um sin t
①相位关系：电阻的电压和电流同相位。
b
j
F
a 1
（复数的辐角）
O

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F 和与a和b之间的关系：
a F cos b F sin
或
F a 2 b2 b arctan a
3. 指数式 根据欧拉公式 e j cos j sin 可将三角式变为指数式
F | F | e j
4. 极坐标式 注 意
F | F |
e j cos jsin
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二、复数的基本运算 1. 复数的加减运算：用代数式或三角式 如：设F1=a1+jb1，F2=a2+jb2 则 F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
说明
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
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4.1.2 正弦量的瞬时值、幅值与有效值
瞬时值：正弦量在任一瞬间的值 用小写字母如u、i、e表示 幅值：Im、Um、Em
幅值必须大写, 下标加 m。
有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有 效值。 T 2 2 I RT 0 i R dt
交流 直流
则有
有效值必 须大写
I
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4.2 正弦交流电路的分析基础
4.2.1 复数
一、复数的表示形式 1. 代数式 j
F a jb
1
虚单位
Re [F ] a， Im[F ] b
2. 三角式
几何意义：有向线段（向量），如图所示。
|F|：复数的模
F | F | (cos j sin )
： arg F
可以用平行四边形法则或多边形法则实现复数的加减 运算，如图所示。
j
F1 F2
F1 F2
j
F1
F2
O
F1 F2