换缺点的基础上发展而来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅 立叶级数等的基础知识。
• 泛函分析是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现 代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。
• 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号 分析从时间域变换到了频率域。
考察方式
第1章 引论
• 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，是在能量有限空间L2(R)（
式2.1.1 实数域平方可积空间）上满足容许条件（P24
）的函数，这样认识小波需
要函数空间（泛函分析）的基础知识。
• 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变
:XX R
(1)(x, y) 0,x, y X (x, y) 0 x y
(2)(x, y) ( y, x),x, y X (3)(x, y) (x, z) (z, y),x, y, z X
• 处处稠密：设A和B为度量空间
的子集，如果有
如果有
， 称A在B中处处稠密。
{，X称,A在B}中稠密；
• 4、Matlab小波分析与工程应用 ，张德丰 ，国防 工业出版社
要求
• 了解小波变换与傅立叶变换的区别 • 理解掌握基本的小波变换理论。 • 理解多分辨率分析的基本思想，了解正交小波
的基本性质，掌握构造正交小波的基本方法。 • 掌握塔式分解算法； • 了解双正交小波的基本性质，掌握其构造的方
法，分解和重构的相关理论和方法； • 了解小波变换的信号处理领域内的应用； • 利用MATLAB编程实现小波的构造和简单应用仿
f 2 | f |2dx
2
L2 ( )
希腊字母：kai
• 若内积定义为 式中c为一序列，则称以满足
c, d cn d n n
的序列为元素的线性空间为平方可和空间，记为 。
|| c ||22 cn 2
n
l2 (Z)
1.1.6 Schwartz（施瓦茨 ）不等式
f , g 证明：过程见p3. f
小波分析及其在信号处理 中的应用
教材&参考书
• 教材：小波分析及其在信号处理中的应用，王大 凯，彭进业编著，电子工业出版社
• 1、小波分析导论，程正兴译，【美】崔锦泰著， 西安交通大学出版社出版。
• 2、小波分析与工程应用，杨建国，机械工业出版 社。
• 3、信号处理的小波导引，Stephane Mallat著，杨 力华，戴道清，黄文良，湛秋辉译，机械工业出 版社。
f
(x) |2
dx
1 1 x2
dx
1 dx 1 x2
f L2 (R)
真等。
课程安排
36学时： • 1、引论 • 2、小波变换 • 3、多分辨率分析与正交小波的构造 • 4、塔式算法及二维小波 • 5、双正交小波 • 6、DWT在图像编码中的应用
授课形式
• 课本内容 • Matlab小波分析工具 • 论文学习与仿真 • 分小组自由讨论、课后作业 • 期中大作业 • 期末大作业
例：实数集R按照度量
B A 是一个度量空间， 是有理数集。
因为
BA
所以G在R中处处稠密。
A的闭包
(x, y) | x y |
GR
G R
1.1.5 平方可积空间与平方可和空间 • 如果将Euclidean空间中的内积定义具体化为
则称以满足
•的f平(x)方为可元积素空的间线是性f H,空igl间be为rt空平间方可积f 空(x间)，g记(x为)dx。
g
用到的理论：
1、内积的性质
2、判别式的性质
1.1.7 绝对可积空间与绝对可和空间 • 若定义
则称以满足 <∞的 f 为元素的线性空间为绝对可积空间，记为 。
•
•
类似可定义绝对可||和f空|间|1。
平方可积不一定绝对可积
| f | dx
例：考察函数
f
1
L1 ( )
f (x) 1
1 x2
|
p(x) x
1.1.3Euclidean空间 • 如果对于线性空间Ｌ的每一对元素定义了如下性质的内积：
那么称Ｌ是一个xE,ucxlidean空0间(赋范空间)。这时它的范数定义为 x, y y, x
x, y x, y
x, y z x, y x, z
x x, x
1.1.4 Hilbert空间 • 一个完备的可分离的无限维Euclidean空间称为一个Hilbert空间,记为 H. • 测度（度量）：设X是一个集合，映射 称为X上的一个度量，如果
泛函简介
• 泛函就是以函数为自变量的函数.泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其 研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变 换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及 积分方程的研究发展而来的。
• 比如曲线的长度,闭合曲线围成的面积等都和曲线的函 数是一种泛函关系.设对于任何y(x),有另一个数J[y]与之 对应,则称J[y]为y(x)的泛函. 这里的定义域,即函数集合,通 常包含要求y(x)满足的一定边界条件,并且具有连续的二 阶导数. 泛函和复合函数不同,泛函必须给出区间上整个 函数y(x),才可以得到一个泛函值.
了如下性质的加法和标量乘法： 加法的封闭性；加法的交换律；加法的结合律；零元；加逆；乘法的封闭性；乘法结合
律；存在单位标量1，1·x＝x；乘法的分配律。
泛函就是以函数为自变量的函数
1.1.2 线性空间的范数 • 在一个线性空间L中的泛函p(x),如果满足
（1）非负性，零元的函数值为零的唯一性； （2）正齐次性； （3）三角不等式 则称p(x)为L的范数 • 物理意义：元素x到0的距离，
• 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法 一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如， 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量， 这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包 含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间 。
1.1 函数空间
1.1.1 线性空间 • 一个线性空间是一个在标量域（实或复）F上的非空矢量集合L，并且对于其元素定义