2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14．已知函数在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；④．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。