三、 概率的公理化定义
我们注意到不论是对概率的直观理解，还
第 是频率定义方式，作为事件的概率，都应具
三 版
有前述三条基本性质,在数学上，我们就可以
从这些性质出发，给出概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在 综合前人成果的基础上，抓住概率共有特 性，提出了概率的公理化定义，为现代概 率论的发展奠定了理论基础.
三
版 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
所以，P（ B ）=1-0.2=0.8
思考 在以上条件下，P（A-B）=？
例2: 王敏捷参加“智力大冲浪”游戏, 他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,
两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
第
三
版
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
有重复排列：从含有n个元素的集合中 随机抽取k次，每次取一个，记录其结 果后放回，将记录结果排成一列,
第 三 版
nnn
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随 机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将 所取元素排成一列，
第 三 版
n n-1 n-2
n-k+1
共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
事件的概率
从直观上来看，事件A的概率P(A)
第
是指事件A发生的可能性
三
版
P(A)如何确定，应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？
出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。 第 概率应有如下特征： 三 (1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。
课堂练习
1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，
求P(A-B).
第 三
2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)
版 解：
1 P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,
所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
2 P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
概率的统计定义：
在相同条件下重复进行的 n 次试验
第 中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常
三 版
数 p 附近摆动, 且随 n
越大摆动幅度越
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 缺点：粗糙 不便
易懂
模糊 使用
定义11(概率的直观定义)
随机事件A发生的可能性大小的度量(数 第值) 称为事件A发生的概率 记作P(A)
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(Ω)＝1， fn( )=0；
第
三
(3) 可加性：若AB＝ ，则
版
fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B).
必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐 渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
作为事件A的概率.
I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
第
三
（2）空一盒的概率是多少？
版
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
第
n = 33 nA = 3!
三 版
P(A) 2
9
P(B) 1 P{空两盒} P{全有球}
322 1 33 9 3
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去 (nm)，则每盒至多有一球的概率是：
事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生
集合A与B没有公共元素 事件A与B互不相容（互斥）
一、概率和频率解释
第
二、从频率的性质看概率的性质
三
版
三§、1概2 率随的机公事理件化的定义概率
四、概率测度的其他性质
组合：从含有n个元素的集合中随机抽 取k 个，取法共有
第 三 版
Cnk
n k
Pnk k!
n! k!(n k)!
引例
抽球问题
第 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任 三 抽2个球，求取到一红一白的概率。
版
nA = C31C21
解:设A-----取到一红一白
第 三 版
n = C52 nA = C31C21
版
(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。
一般叙述可能性时用百分比。 以后为方便更多地用0到1之间的小数。
即0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1 P(三
（1）统计定义
版
（2） 古典定义
基于频率的定义 概率的最初定义
（3） 公理化定义
1930年后由前苏联数 学家柯尔莫哥洛夫给出
(1)不可能事件φ的概率为零,即P(φ)=0.
(2) 有限可加性：设A1,A2,…An 是n个两两互不相
第 三
容的事件,即AiAj＝ ,(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有
版 P( A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…
+P(An).
(3) 可减性：若事件AB，则 P(A－B)=P(A)－P(B)
概率的性质
根据概率的频率解释 概率可视为频率的稳定值 从而应
具有频率的相应性质
第
三 (1) P()1
版 (2) 对任意事件A 有P(A)0
(3) 对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有
P( i1
Ai
)
i1
P(
Ai
)
提示 同频率一样 记事件A发生的概率为P(A) 随着A取遍任 意事件 P(A)则可视为定义在全体事件构成的集合 即事件域 F上的一个函数
概率的公理化的定义
设 是给定的试验E的样本空间，对其中的任意一 个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
(1)非负性 0 P
第
三 (2)规范性 P 1
版
(3)可列可加性: 设
A1, A2, An 两两互不相容．
则
P
Ai
i 1
P(
i 1
Ai
)
则称P(A)为事件A的概率.
四、 概率测度的其他性质
=1-0.7+0.3=0.6
§13 古典概型与几何概型
一、 古典概型
第
三
二、 几何概型
版
古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念
第
三 版
乘法过程：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方 法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法
加法过程：设完成一件事可有两种途径，第一种途径 有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共 有n1+n2种方法。
古典概型
古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型
(1)样本空间有限 记{1 2 n}
第 (2)每一个基本事件的概率相同 即
三
版
P{1}P{2} P{n}
古典概型的概率计算公式
设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有
P(
A)
A中元素个数
中元素个数
使A发生的基本事件数 基本事件总数
分球入盒问题
复习 随机事件的主要概念
为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结论 第 与事件的关系和运算的对应情况列举如下：
三
版
符号
集合论
概率论
全集
样本空间：必然事件
空集
不可能事件
中的点（或样称本元点素）
单点集
基本事件
第
三
版
_
的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差
P( A) C31C21 3 C52 5
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从 中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
第 三 版
p
CMk
C nk N M
CNn
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选 种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模 型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必 过多的交代实际背景。
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
第 三
(1)
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6
版
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.8
(3) P(A B) P(A B) 0.2
（4）单调不减性若事件AB，则P(A)≥P(B)
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A).
(6) 加法公式：对任意两事件A、B，有
第
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
三
版 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形.