ak al am an ． 设 an a1 n 1 d ，则
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C


3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
≤ amj ．
讨论， i 个数 a1k ， a2 k ，…， aik 都在原阵列的第 k 列上，
而剩余的 m i 1 个数 aij ， a i 1 j ，…， amj 都在原阵列的第 j 列上， 由于这些数共有 m 1 个而总共有 m 行， 所以一定有 a1k ， …， …， a2 k ， a i 1 j ， aik 中的某个数与 aij ，
b1 b2 b2013 ， b1 b2
b2013 0 ． , b2013 或者为 m 或者为 m ，
设 b1 b2
b2013 m ，则 b1 , b2 ,
设其中有 x 个 m ， 2013 x 个 m ，则 b1 b2 由于 2x 2013 0 ，因此 m 0 ． 于是 b1 b2
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2.（本小题满分 15 分）
1 sin x sin y 3 已知 x 、 y 满足 ，求 cos x y 与 sin x y 的值． cos x cos y 1 5 【解析】 两式平方相加得 34 sin 2 x sin 2 y 2sin x sin y cos2 x cos2 y 2cos x cos y 225 208 2 2cos x y 225 208 cos x y 225 x y 3 两式和差化积后相除得 tan 2 5 x y 2 tan 15 2 ∴ sin x y ． x y 17 1 tan 2 2 15 （两式相乘后和差化积也可得 sin x y ． ） 17 【备注】求出一个得 5 分，两个都求出得 15 分．
an 1 an 3 2n 1 2n 4
∴ an1 2an 3 2n1 ，从而 因此 6.
an 3 1 n 1 ，解得 an 3n 1 2n 2 ，于是 a2013 3019 22012 ． n 2 4 2
复数 A 、 B 、 C 的模都等于 1 ，且 A B C 0 ，则复数
3 3 于是 A6 6 C6 C3 14400 为所求．
, a6 与放法对应．
3. 在 △ABC 中，D 为 BC 的中点，DM 平分 ADB 交 AB 于 M ，DN 平分 ADC 交 AC 于 N ， 则B M C N 与 MN 的大小关系是（ ） A． BM CN MN B． BM CN MN C． BM CN MN D．不能确定 【解析】 A．
AB BC CA AB BC CA

3 AB AC BA BC C A CB AB BC CA 因此复数 中分子与分母的模相等． A BC
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二、解答题（每题 18 分，共 72 分） （文科第 7 题）
A M B E D N C
AM AD AD AN ，于是 MN ∥ BC ． BM BD CD CN 设 AD 与 MN 交于点 E ，则 E 点平分 MN 且 MN ME EN 2DE ． BM CN 与 2DE 的大小关系可以转化为 AB AC 与 2 AD 的大小关系（平行线截割定理） AB AC 而利用平行四边形容易证明在 △ABC 中，中线 AD 小于 ，因此选 A． 2
）
A． 3019 22012 【解析】 A．
B． 3019 22013
C． 3018 22012
D．以上答案均不对
由 a1 a2 4a1 2 ，得 a2 5 ．
Sn1 4an 2 ，于是 an 2 4 an1 an ，即 an 2 2an1 2 an1 2an ．
2013 年高二尖端班 数学 1 / 15
4.
2 x 2 y 5 若 2 ， x y ，则 x3 2 x2 y 2 y3 的值为（ y 2x 5 A． 10 B． 12 C． 14 【解析】 D．
） D．以上答案均不对
x 2 y 2 2 x y 10 x2 2 y 5 x y 2 x y 2 ，考虑到 x y ，有 2 ，即 ． 2 2 2 2 xy 1 x y 6 y 2x 5 x y 2 y x
1 cos 2 3 2 32 4cos 2 3cos 2 6 2cos 2 1 15cos 2 2 10
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3
（理科第 10 题） 设有 mn 个实数排成一个 m 行 n 列的阵列 aij

m n
每一行中的 n 个数
的大小顺序如何？给出结论并说明理由．
【解析】 新的阵列 aij
mn
反证如下，若有某一行不是这样，不妨设第 i 行上存在 j k 且 aij aik ． 由新阵列的排法知 a1k ≤ a2k ≤ 返回到原阵列 aij
mn
≤ aik ≤ aij ≤ ai 1 j ≤
mn
，使得每一行上的 n 个数从左到右都按递增的顺序排列，
即对任意 1≤ i ≤ m ，当 j1 j2 时有 aij1 ≤ aij2 ．下面把每列上的 m 个数都从上到下都按递增的顺序重排得到 阵列 aij

m n
，即对任意的 1 ≤ j ≤ n ，当 i1 i2 时有 ai1 j ≤ ai2 j ，问这个新的阵列 aij 中，每一行上的 n 个数从左到右还是按递增的顺序排列．


因此次数不小于 4． 2. 在 6 6 棋盘上放 3 个完全相同的红色的车和 3 个完全相同的黑色的车，若这 6 个车不在同一行也不在同一 列上，则不同的放法有（ ）种． A． 720 B． 518400 C． 20 D． 14400 【解析】 D． 视 6 枚棋子均相同，记落在第 i 行的的棋子在 ai 列，则排列 a1 , a2 ,
a1 , a2 , a3 ,
是一个递增的正等差数列． k 、 l 、 m 、 n 是给定的正整数．已知 ak 与 al 的几何平均大于 am
k l mn ． 2 a an a al a al am an 【解析】 根据题意有 ak al m ，又 ak al ≤ k ，于是 k ． 2 2 2 2
2013 年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约） 数学试题
一、选择题（每题 8 分，共 48 分） 1. 以 2 和 1 3 2 为根的有理系数方程的最小次数为（ A． 2 B． 3 C． 5 【解析】 C． ） D． 6
3 可以构造方程 x2 2 x 1 2 0 ，于是次数不超过 5 ．
假设有 3 次方程 x 2 x 1 3 2 x m 0 满足要求，则
m 2 1 3 2 ， 2 1 3



2 m 均为有理数．
设 m p 2 3 2 ， p 为有理数，则
5 1 5 5 4 7 1 1 1 2 1 3 2 m 2 2 2 6 p 2 2 2 3 2 2 2 6 p 2 2 6 2 3 2 6 不可能为有理数．
a1 a2 , a2013 满足 a1 a2 a2013 0 ， a1 2a2 a2 2a3
a2013 2a1 ．求证：
a2013 0 ．
【解析】 令 b1 a1 2a2 ， b2 a2 2a3 ，…， b2013 a2013 2a1 ，则
于是 x 、 y 是关于 t 2 2t 1 0 的两根，为 1 2 ．
x3 2 x2 y 2 y3 x y x 2 xy y 2 2 xy 2 6 1 2 1 16 ．