高中版2013年1月这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息.修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真”是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人.参考文献：1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■初等数学研究问题四议筅浙江省宁波市北仑明港中学甘大旺（特级教师）我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！1.初等数学研究的萌芽“初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期.2.初等数学研究的兴起1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题：设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2n2（x n －1）（n=1，2，…）.求证：（1）x n >2，且x n+1x n<1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+12n －1；（3）如果a>3，那么当n ≥lga3lg 43时，必有x n+1<3.教育纵横数坛在线60高中版2013年1月一石激起千层浪，这道实际超越教学大纲、考试大纲的高考题，惊醒了中学数学教师“抓纲务本就能取胜高考”的美梦、暴露了初等数学的研究队伍在中数界后继无人的危机.天赐良机，杨之（杨世明）、劳格（庞宗昱）在《中等数学》1985年第1期上及时发表“初等数学研究问题刍议”后，立即得到我国上百个中学数学教师的积极响应.到后来杨之、劳格1988年发表“初等数学研究问题再议”，1991年发表“初等数学研究问题三议”之时，仅7年时间我国初等数学的研究成果呈“井喷”式地发表，涉及到映射数列与数论、递推数列与数阵、绝对值方程与折线、多面体、多项式，不等式、组合几何等多方面课题，《湖南数学通讯》（现停刊）、《中等数学》、《数学通讯》、《数学通报》、《厦门数学通讯》（现停刊）等期刊对我国1985年以来初等数学的早期研究是功不可没的，后来每隔三、四年召开一次的全国初等数学研究学术交流会在激励人才、传递信息、指明方向等方面也推进着我国初等数学研究的顺利展开.从1984年至2002年，我国教育行政部门考虑中学教师（包括数学教师）队伍的主要问题仍然是本科学历达标、教学艺术比拼，于是初等数学研究还不是中学数学教师的重点培训内容，只属于少数具有探究潜质的中学数学教师的业余爱好或孤芳自赏.尽管如此，分散在全国各市县区对初等数学研究颇有建树的、鹤立鸡群的中学数学教师的人数还是不少，这一时期我国的初等数学研究在全局、整体上处于不停顿、较缓慢的兴起阶段.3．初等数学研究的发展2003年全国统一高考理科数学试卷共有22道题，其中的第10题是以对称折线为背景的选择题.第15题是由2001年全国高中联赛题改编的并以递推数列为背景的染色填空题.第20题是由1996年上海市高中数学应用竞赛题改编的并很贴合实际背景的台风应用题.第22题是以三角形数阵为背景的数列题.4道涉及当时初等数学研究范围的题目同时出现在一份试卷中，考生们措手不及，有的考生一出考场就哭泣甚至弃考.当年湖北省、浙江省的高考理科数学平均分都只有约65分（我教的学生董巍却考取142分），其中湖北省做对第22题的考生不足10人.追究其普遍低分的原因，主要在于教师们关于初等数学的研究意识淡薄、知识功底浅薄，平时备考有盲点甚至盲区.2004年至今，全国多省市的高考数学试卷出现初等数学题材的现象逐渐成为常态.于是，某些中学在新招数学教师（涉及到理科教师）时要增加答卷笔试，不少数学教研员在组织教研活动时要增加解题与说题，许多市县区在教师培训中除通识培训之外增加专业培训，较多评委专家在评选优秀青年数学教师、数学特级教师的面试中专门考查专业功底.如此种种，对于广大中学数学教师来说，不论是被动的警觉还是主动的自觉，都要结合本职工作和专业成长来增加初等数学研究的含量.甚至影响到师范大学和综合大学，有的数学专业本科生、研究生自豪地在毕业论文中专攻初等数学问题.随着初等数学研究在中数界的广泛发展，其研究成果越来越有用、越多、越新，这催生了我国更多的中数期刊纷纷开设初数研究、初数新探、专题研究、专题写作、专论荟萃等栏目，扶助了一大批中青年数学教师冲破年龄辈分、职位等级等桎梏而脱颖而出，正如特级教师甘志国在某网站上答谢友人所写的那样“我是从写作起家的”.初等数学研究后继有人，中数期刊的助推力是不可低估的，这能保证初等数学研究的持续发展.这一时期，随着初等数学研究的深入发展和个人累积，初等数学研究专著成批出版（再版）就水到渠成了，如：【1】杨之：《初等数学研究的问题与课题》，湖南教育出版社，第2版，2009；【2】叶立军：《初等数学研究》，华东师大出版社，2008；【3】杨学枝：《数学奥林匹克不等式研究》，哈尔滨工业大学出版社，2009；【4】沈文选：《几何瑰宝》，哈尔滨工业大学出版社，2010；【5】冷岗松：《几何不等式》，华东师大出版社，第2版，2012；【6】陈计：《代数不等式》，上海科技出版社，2009；【7】冯跃峰：《组合极值》，华东师大出版社，第2版，2012；【8】张景中：《数学杂谈》，中国少儿出版社，2011；【9】陈月兰：《高观点下的初等数学》，华东师大出版社，2011；【10】王方汉：《五角星、星形、平面闭折线》，华中师范大学出版社，2008；【11】韩金俊：《初等不等式的证明方法》，哈尔滨工业大学出版社，2011；【12】罗增儒：《中学数学解题理论与实践》，广西教育出版社，2008；【13】张小明、褚玉明：《解析不等式新论》，哈尔滨工业大学出版社，2009.数坛在线教育纵横61高中版2013年1月【14】甘志国：《初等数学研究》（上、中、下），哈尔滨工业大学出版社，2009；【15】甘大旺：《函数y=ax+bx的结构与应用》，浙江大学出版社，2010.这些专著或以走向世界、或以服务奥数、或以拓展教材为特点，对于今后的初等数学研究都能发挥示范参考、承前启后的作用.4．初等数学研究的浅见自1985年至今，在教育改革（尤其是其中的教材改革、考试改革）的大潮中，经过数学界三代人的努力，初等数学研究“无用论”和“枯竭论”的观点已经被“很有用”、“可创新”的共识所代替，正呈现着根深基厚、枝繁叶茂的生机局面.今后，初等数学研究如何稳健开展？我谈两方面的浅见.（1）在个人研究的实际行动中，要分清楚在职与退休的时限.德高望重的单墫先生，在《中国初等数学研究》创刊号上的祝词没有被修改：“初等数学十分有趣，年轻人切不可沉溺于初等问题，……，初等数学研究可能更适合于数学教师、有固定职业的数学家和岁数大的人”.这是一位厚道长者的冷静直言，受此启发，我有新感悟：在职的中学数学教师不能以初等数学研究为归宿和落脚点，而应该以初等数学研究的体验和果实来丰富自己的数学教学研究.例如，1993年在长沙参加第2届全国初等数学研究学术交流会的苏茂鸣，把初等数学研究与教学艺术研究、省市立项课题研究结合起来，后来被评上安徽省的特级教师，而另外几位同仁可能缘于单一的初等数学研究而没有这么好的运气.对于绝大多数中学数学教师来说，年轻时搞初等数学研究不要急于求成，应该围绕教材研读、研究初等数学问题，为提高学生成绩服务；得到学生和领导的信任成为把关教师后，要把初等数学研究与数学教学研究结合起来，这是因为排斥初等数学研究的数学教学研究是空洞的，不服务于数学教学研究的初等数学研究是难以被当地教育行政部门认可的；成为当地有话语权的专家型教师后，注意在初等数学研究乃至其他研究中要克服门户之见和狭隘心理，不霸道、不偏心、不抑贤，说公道话、投公正票、办积德事，引导本辖区研究的正常开展；退休后，有了时间的保证、有了温饱的保障、无沉浮的外忧、无功利的诱惑，高水平的专家可以静心、潜心、精心地编写初等数学研究的专著，更应该合作编写初等数学研究的辞典，也可以把我国初等数学研究的前沿成果翻译成外文，促使我国的初等数学研究走向未来、走向世界.（2）在全局研究的指导思想上，要处理好去浮与保本的关系.每届的全国初等数学研究学术交流会的到会人数都不到200人，比许多地级市（少数县区）的数学年会、数学高考评析会、数学优质课展示会的到会人数少，因此高估全国初等数学研究学术交流会的作用是不理智的.早在1988年由杨之和劳格提议、常庚哲和徐利治赞同的会刊《中国初等数学研究》已经不定期地以书的形式出版了，该会刊应该成为全国初等数学研究会指导全国中学数学教师（无论是否会员）开展初等数学研究的实际统帅部.在全国初等数学研究会网站的征稿通告中，共依次列出初数专题、数学教育、数学教学、数学文化、测试数学、解题探秘、竞赛之路、短论荟萃、问题争鸣、名人轶事等10个栏目，这样征得的稿源似乎庞大，但在实际用稿时能不能把数学教育、数学教学、数学文化、测试数学、名人轶事等稿件控制在10%以下，削减初等数学研究所加载的教育、教学功能，确保初等数学研究的专业性，另外在初数专题（长稿）栏目中还要确保初等数学研究的初等性（短论荟萃栏目可容纳大学数学内容），不要远离新课标中学数学教材的最近发展区.连续办好几期形成风格后，争取将《中国初等数学研究》挂靠于某重点大学，这样有主办单位、有CN 刊号的正式期刊，在中学数学教师成长成功、全国初等数学研究会进一步被认可、我国初等数学研究正常发展等三方面将会达到良性循环的相互促进中.最后指出，本文观点纯属笔者己见，供大家毫无顾忌地商榷，以稳健而高效地推动我国初等数学研究事业的发展！参考文献：1.杨之，劳格.初等数学研究问题刍议［J ］.中学数学，1985（1）.2.杨之，劳格.初等数学研究问题再议［J ］.中学数学，1988（1）.3.劳格，杨之.初等数学研究问题三议［J ］.中学数学，1991（1）.4.杨之.初等数学研究的问题与课题［M ］.长沙：湖南教育出版社，1993.5.杨学枝，主编.中国初等数学研究（创刊号）［M ］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.6.甘大旺.新题征展，本色教研［J ］.中学数学，2008（10）.■教育纵横数坛在线62。