思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高 AD=
3
思路解析：因为正 n 边形的中心角为 360︒ 3 4
24.3 正多边形和圆
5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化
思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所 以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3 a ，外接圆半径 OA=
a ，边心距
2
3
OD=
3 6
a ，
所以 AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A
3.正 五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 6
4.中心角是 45°的正多边形的边数是__________.
360︒
，所以 45°= ，所以 n=8.
n n
答案：8
5.(2010 上海静安检测△)已知 ABC 的周长为 20,△ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4, 那么 BC=__________.
思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 2 3
时，此时该正 n 边形有_________条对称轴.
360︒ (n - 2) • 180︒
思路解析：因为正 n 边形的外角为
，一个内角为
，
n
n
360︒ 2 (n - 2) • 180︒
所以由题意得 = · ，解这个方程得 n=5.
n 3 n
答案：5
2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是(
)
A. 6 6
B. C. D.
2 3
4 3
思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A.
答案：A
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S 3、S 4、S 6 之间的大小关系是(
)
. ∵∠AOD ＝ 360︒
A.S 3>S 4>S 6
B.S 6>S 4>S 3
C.S 6>S 3>S 4
D.S 4>S 6>S 3
思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案：B
4.已知⊙O 和⊙O 上的一点 A(如图 24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图 24-3-1
思路分析：求作⊙O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分， 而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分 要证明 DE 是 ⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于 360°÷12＝30°.
(1)作法：
①作直径 AC;
②作直径 BD ⊥AC;
③依次连结 A 、B 、C 、D 四点,
四边形 ABCD 即为⊙O 的内接正方形;
④分别以 A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于 E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结 A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.
六边形 AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结 OE 、DE.
360︒
＝90°，∠AOE ＝ ＝60°，
4 6
∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°.
∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边. 快乐时光
有一位爱鸟人士,他特别喜欢鹦鹉 ,有一天,他经过一间鸟店发现里面正在拍卖一只鹦鹉 , 他见那只鹦鹉毛色很好决定要买,于是他喊道:“我愿意出 10 美金买下这只鹦鹉!”
接着有人喊价:“我愿意出 20 美金!”那位爱鸟人士不愿把那只鹦鹉拱手让人, 于是他又 喊了 30 美金.可是另一个声音像在跟他作对,一直到那位爱鸟人士叫了 200 美金时才停.
那人买到鹦鹉很高兴 ,可是他突然想到 :我花了那么多钱才买到这鹦鹉 ,如果它不会说话 那我不就亏大了吗?于是他就去问老板:“老板,你这只鹦鹉会不会说话啊?”
接着他听到鹦鹉大叫:“不会说话?!你以为刚刚是谁在跟你喊价啊?!” 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
1. 正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为( )
A.
3
4
解：设此正多边形的边数为 n ，则各内角为 (n - 2) • 180︒
3
3 2 3 3 B.
C.
D.
6
3 3
思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为 1，所以边心距为 0.5,则边长为
答案：D
2.已知正多边形的边心距与边长的比为
1
，则此正多边形为( )
2
3
3
.
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正十二边形
思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选 B. 答案：B
3.已知正六边形的半径为 3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P 6＝6a n 求出周长.
答案：18
4.(2010 上海浦东新区模拟)正多边形的一个中 心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等 于____ _______度. 答案：144.
5.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2 3 ，在⊙O 1 中为内接正三角形的一边，在⊙O 2
中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图 24-3-2
思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R 3 与 R 6 的平方比即可.
解：设正三角形外接圆⊙ O 1 的半径为 R 3，正六边形外接 圆⊙O 2 的半径为 R 6，由题意得
R 3= 3
AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝ 3 ∶3.∴⊙O 1 的面积∶⊙O 2 的面积＝1∶3.
6.某正多边形的每个内角比其外角大 100°，求这个正多边形的边数. 思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 360︒
，外角为 ，依题意得
n n
(n - 2) • 180︒ 360︒
-
＝100°.解得 n ＝9.
n
n
7.如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三
个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
则正 △O 1O 2O 3 外接圆的半径为 4 3
O O O O
图 24-3-3
思路分析：设三个圆的圆心为 O 1、O 2、O 3，连结 O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为 4 cm 的 正 △O 1O 2O 3，设大圆的圆心为 O ，则点 O 是正 △O 1O 2O 3 的中心，求出这个正 △O 1O 2O 3 外 接圆的半径，再加上⊙O 1 的半径即为所求. 解：设三个圆的圆心为 O 1、 2、 3，连结 O 1O 2、 2O 3、 3O 1，可得边长为 4 cm 的正 △O 1O 2O 3，
4 3 4 3 6 cm ，所以大圆的半径为 +2= (cm).
3 3 3
8.如图 24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之 间参与交流、评价).
图 24-3-4
答案：略.
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图 24-3-5
作法：(1)分别以圆的 4 等分点为圆心，以圆的半径为半径，画 4 个圆； (2)分别以圆的 6 等分点为圆心，以圆的半径画弧.
10.(辽宁大连模拟)如图 24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC 、正方形 ABCD 、正五边形 ABCDE 、…、正 n 边形 ABCDE …的边 AB 、BC 上的点，且 BM=CN ，连结 OM 、ON.
图 24-3-6
(1)求图 24-3-6(1)中∠MON 的度数；
(2)图 24-3-6(2)中∠MON 的度数是_________，图 24-3-6(3)中∠MON 的度数是_________； (3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案). 答案：(1)方法一：连结 OB 、OC. ∵正△ABC 内接于⊙O ， ∴∠OBM=∠OCN ＝30°， ∠ BOC=120°.
又∵BM=CN ，OB=OC ， ∴△OBM ≌△OCN. ∴∠BOM ＝∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°. 方法二：连结 OA 、OB. ∵正△ABC 内接于⊙O ，
∴AB=AC ，∠OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°. 又∵BM ＝CN ， ∴AM=BN. 又∵OA=OB,
∴△AOM ≌△BON. ∴∠AOM=∠BON.
∴∠MON=∠AOB=120°. (2)90° 72°
(3)∠MON=
360
n
.。