雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 2B. -2C. 2i -D. 2i2. 已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D. ()p q ⌝∨⌝3. 已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中2x 的系数为（ ）A. 20B. 30C. 40D. 504. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ） A. 192 B. 48 C. 24 D. 885. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ）A.34B.C. 1D.6. 执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是（ ）A. 15B. 16C. 31D. 327. 已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-，则m 的值为（ ）8. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为（ ）A.12 B.1C. 12D.19. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3DC BD =u u u r u u u r ，2AD =u u u r，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A. 3B. 8C. 12D. 1610. 通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50X N :.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,X N μσ:，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A. 0.0456B. 0.6826C. 0.9987D. 0.9772l1. 在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②④12. 已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与()2xg x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A. 214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B. 214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.31x dx -⎰的值为______.14. 已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______.15. 一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）. 16. 已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .（1）求曲线Γ的长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数.（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由.19. 如图，过抛物线()220y px p =>上一点()1,2P ，作两条直线分别交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距[]1,3b ∈-时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值.20. 为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：21. 已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当0x >时，若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<++⋅⋅⋅+<++. 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩，曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23. 选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值.雅礼中学2020届高三月考试卷（五）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1-5：ACCBB 6-10：CADDD 11-12：AB 11. A 设电线杆的下端分别为1M ，2M .且高度分别为a ，b .以1M ，2M 的中点为原点，1M ，2M 所在直线为x 轴建系，由仰角的正切相等知21a PM b PM =，则当a b =时，点P 的轨迹为1M ，2M 的垂直平分线，当a b ≠时，点P 的轨迹为圆.故选A.12. B 易知函数()f x 只有一个零点2，故{}2P =，由题意知21β-<，即13β<<.由题意知，函数()g x 在()1,3内存在零点，由()20xg x x ae =-=，得2xx ae =，所以2x x a e=.记()()()21,3x e h x x x =∈，则()()()222'2x x xx x x xe e x h x e e --==，()1,3x ∈.所以当()1,2x ∈时，()'0h x >，函数()h x 单调递增；当()2,3x ∈时，()'0h x <，函数()h x 单调递减；所以()()242h x h e ≤=，而()11h e =，()3391h e e=>，()()2142h x h e e <≤=，所以实数a 的取值范围为214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦.故选B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.52 14. 3π15. 7016.15. 70 在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为4870C =.16.由题意知222sin sin sin 1αβγ++=，由基本不等式或柯西不等式知sin sin αβγ+≤=，同理sin sin βγα+≤=，sin sin γαβ+≤=，相加即得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）Γ在侧面展开图中为BD 的长，其中AB AD π==，∴Γ； （2）当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-，()0,2,0AB ⇒=u u u r 、1,1,2AP π⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 、()11,0,OC π=-u u u ur .设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =r ，则2002y x y z π=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取2z =，得(),0,2n π=r，所以点1C 到平面PAB的距离为1OC n d n ⋅==u u u u r r r18.（1）∵11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，∴()2211n n n n S S S S λ++=--，∴()1120n n n S S S λ++--=，∵0n a >，∴10n S +>.∴120n n S S λ+--=，所以12n n S S λ+=+.（2）当2n ≥时，∵12n n S S λ+=+，12n n S S λ-=+，相减得：()122n n a a n +≥=， ∴{}n a 从第二项起成等比数列，∵212S S λ=+，即2112a a a λ+=+，∴210a λ=+>得1λ>-，∴()21,112,2n n n a n λ-=⎧=⎨+≥⎩， 若{}n a 是等比数列，则2132a a a =，∴()()2211λλ+=+，∴1λ=.19.（1）由抛物线()220y px p =>过点()1,2P ，得2p =，设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ， 由PA ，PB 倾斜角互补可知PA PB k k =-，即12122211y y x x --=---，由2114y x =，2224y x =，代入得124y y +=-.（2）设直线AB 的斜率为AB k ，由2114y x =，2224y x =，得()211221124AB y y k x x x x y y -==≠-+，由（1）124y y +=-，将其代入上式得1241AB k y y ==-+.因此设直线AB 的方程为y x b =-+，由24y x y x b⎧=⎨=-+⎩，消去y 得()22240x b x b -++=，由()222440b b ∆=+->，得1b >-，这时1224x x b +=+，212x x b =，AB ==，又点P 到直线AB的距离为d =，所以1122ABP S AB d ∆=⋅⋅=⋅=令()()()[]()2131,3f x x x x =+-∈-，则由()231030'xf x x =-+=，得13x =或3x =，当11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 单调递增，当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，故()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故ABP ∆面积ABPS ∆的最大值为9=.所以2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++()2200644456364120801001003⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为2K 的观测值41.3233k =>，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人，女生代表n 人，则m n ξ=+，根据已知条件可得1,2,3,4,5ξ=，()()2222325413111,020C C C P P C m C n ξ=====⋅=；()()()21,12,0P P m n P m n ξ====+==1212123223223232545412310C C C C C C C C C C C =⋅+⋅=；()()()()31,22,13,0P P m n P m n P m n ξ====+==+==12210321123232232222323232545454715C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=；()()()42,23,1P P m n P m n ξ====+==210321132232223232545416C C C C C C C C C C C =⋅+⋅=；()()0322323234153,260C C C P P C m C n ξ=====⋅=， 所以ξ的分布列是：所以123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 21.（1）由()0f x ≥，得()ln 100x x ax x ++≥>. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x=+. 则()22'111x x x F x x-=-=.∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1ln F x x x=+的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-.∴a 的取值范围是[)1,-+∞. （2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()()2111ln 121n n n n n n +<<+++即可.由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x≥-. 令11n x n +=>，即得11ln 111n n n n n +>-=++. ∴()()2211111ln 11212n n n n n n n +⎛⎫>>=- ⎪+++++⎝⎭. 现证明()211ln1n n n n +<+，即<==()* 现证明()2ln 11x x x x <->. 构造函数()()12ln 1G x x x x x=--≥，则()2221221'10x x x x G xx -+=+-=≥. ∴函数()G x 在[)1,+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=. ∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x<-成立.令x =()*式成立. 综上，得()()()2111ln 121n n n n n n +<<+++. 对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得22231ln 2ln ln 2421n n nn n n +<++⋅⋅⋅+<++. 22.（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为2214y x -=，故d =；（2）将直线l的标准参数方程改为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，并代入2214y x -=得2320t --=， 设其两根为1t ，2t ，故1223PA PB t t ⋅==. 23.（1）由三元基本不等式知1b a c b a b c a b c b a b c b+++=++-++12≥=， 当且仅当b a b c a b c b+==+时取等号. （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++， 结合方程组知上述不等式取等号，故可设a b c k x y z===，即a kx =，b ky =，c kz =，所以 ()2222222a b c k x y z ++=++，即249k =，得23k =，从而23a b c k x y z ++==++.。