2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟（二）数学（理）试题一、单选题1．集合10A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2|10B x R x =∈-<，则A B =U （ ）A ．(]1,0-B ．()1,0-C ．(),1-∞D ．(),1-∞-【答案】C【解析】求出A 与B 中不等式的解集确定出A 与B ，利用并集定义求A 与B 的并集即可． 【详解】由题得{|0}A x x =<，{|11}B x x =-<<， 根据并集的定义知：{|1}A B x x ⋃=<， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了并集及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+Q ，1122z i ∴=--， 对应点为11(,)22--，在第三象限． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键．3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A【解析】根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.5．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．7【答案】A【解析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列，再根据1239a a a ++=，48a =，可求出公差，即可求出5a ． 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈，则数列{}n a 为等差数列， 1239a a a ++=Q ，48a =， 1339a d ∴+=，138a d +=，52d ∴=， 54521822a a d ∴=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．53π B ．2π C ．52πD ．3π【答案】A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1． 则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．7．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B【解析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．9．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ）A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-【答案】B【解析】根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【详解】由(1)(1)f x f x +=-得()f x 关于1x =对称，若关于1x =对称，则函数()f x 在(0,)+∞上不可能是单调的， 故错误的可能是B 或者是D ， 若D 错误，则()f x 在(-∞，0]上是减函数，在()f x 在(0,)+∞上是增函数，则(0)f 为函数的最小值，与C 矛盾，此时C 也错误，不满足条件． 故错误的是B ， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ）A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】结合已知可知，112T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03f =，可求ϕ，即可判断． 【详解】Q 图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，∴112T =即2T =，ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()033f πϕ=+=，∴13k πϕπ+=，k Z ∈，1||2ϕπ<Q ，13ϕπ∴=-，1()sin()3f x x ππ=-，当16x =-时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π-∈-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 11．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．)+∞C ．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D【解析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.二、填空题13．设实数x ，y 满足020560x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值是______.【答案】3【解析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解． 【详解】作出实数x ，y 满足020560x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩……„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =-可得2y x z =-，则z -表示直线2z x y =-在y 轴上的截距，截距越小，z 越大.由0560x y x y +=⎧⎨--=⎩可得(1,1)C -，此时z 最大为3， 故答案为：3．【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想． 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若()*32n n a S n N +=∈，则5S=______.【答案】31【解析】由已知数列递推式可得数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列，再由等比数列的前n 项和公式求解． 【详解】由32n n a S +=，得1232a =，116a ∴=． 且1132(2)n n a S n --+=…， 则110n n n n a a S S ---+-=，即11(2)2n n a n a -=…． ∴数列{}n a 是以16为首项，以12为公比的等比数列， 则55116(1)231112S -==-．故答案为：31． 【点睛】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．已知实数0a ≠，对任意x ∈R ，有()52501251ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，且1240a a +=，则0125a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】-1【解析】由二项式定理及展开式系数的求法得1122554()()0C a C a -+-=，又0a ≠，所以2a =，令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++，所以0123451a a a a a a +++++=-，得解．【详解】由5250125(1)ax a a x a x a x -=+++⋯+，且1240a a +=，则1122554()()0C a C a -+-=， 又0a ≠， 所以2a =， 令1x =得：5012345(121)a a a a a a -⨯=+++++， 所以0123451a a a a a a +++++=-，故答案为：1-． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D ，11A B 的中点，P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），若//FP 平面AEC ，则线段1A P 长度的取值范围是______.【答案】2302⎣ 【解析】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，推导出平面//FGB 平面AEC ，从而点P 在线段BG 上运动，作1A H BG ⊥于H ，由111A H A P A B 剟，能求出线段1A P 长度的取值范围． 【详解】取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，Q 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D 、11A B 的中点，//AE BG ∴，//AC FG ， AE AC A =Q I ，BG FG G =I ，∴平面//FGB 平面AEC ，P Q 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），//FP 平面AEC ， ∴点P 在线段BG 上运动，在等腰△1A BG 中，221215A G BG ==+=221222A B =+=， 作1A H BG ⊥于H ，由等面积法解得：22111()225223025A B A B BG A H -⨯-===g ， 111A H A P A B ∴剟，∴线段1A P 长度的取值范围是230[，22]．故答案为：230[，22]．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为24sin aA.（1）求sin sin B C ；（2）若10cos cos 1B C =-，2a =ABC ∆的周长.【答案】（1）12（227 【解析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；（2）根据两角余弦公式可得cos A ，即可求出sin A ，再根据正弦定理可得bc ，根据余弦定理即可求出b c +，问题得以解决． 【详解】（1）由三角形的面积公式可得21sin 24sin ABC a S ac B A∆==， 2sin sin c B A a ∴=，由正弦定理可得2sin sin sin sin C B A A =，sin 0A ≠Q ，1sin sin 2B C ∴=； （2）10cos cos 1B C =-Q ， 1cos cos 10B C ∴=-，3cos()cos cos sin sin 5B C B C B C ∴+=-=-，3cos 5A ∴=，4sin 5A =，Q 则由21sin 24sin a bc A A=，可得：2516bc =，由2222cos b c a bc A +-=，可得：22318b c +=，23125()788b c ∴+=+=，可得：7b c +=，经检验符合题意， ∴三角形的周长27a b c ++=+．（实际上可解得2734b -=，2734c +=符合三边关系）． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式，考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算能力，考查了转化思想，属于中档题． 18．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：AB AC ⊥；（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥；（2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r ，计算cos n <r，1B D >u u u u r 即可得出答案． 【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，160B BA∠=︒Q，12B B=，112OB AB==，141221cos603OB∴=+-⨯⨯⨯︒=，22211OB OB BB∴+=，故1AB OB⊥，又1AB B D⊥，111OB B D B=I，11,OB B D⊂平面1ODB，AB∴⊥平面1ODB，AB OD∴⊥，OQ，D分别是AB，BC的中点，//OD AC∴，AB AC∴⊥．（2）解：Q四边形11ACC A是正方形，1AC AA∴⊥，又AC AB⊥，1AB AA A=I，1,AB AA⊂平面11ABB A，AC∴⊥平面11ABB A，在平面11ABB A内作直线AB的垂线AE，以A为原点，以AB，AC，AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz-，则(0A，0，0)，(1D，1，0)，1(1C-，2，3)，1(1B，0，3)，∴(1AD=u u u r，1，0)，1(1AC=-u u u u r，2，3)，1(0B D=u u u u r，1，3)-，设平面1C AD的法向量为(n x=r，y，)z，则1·0·0n ADn AC⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u vru u u u vr，即230x yx y z+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x=可得：(1n=r，1-，3)，cos n∴<r，11125||||5n B DB Dn B D>===-u u u u rru u u u r gu u u u rr．∴直线1B D与平面1C AD所成角的正弦值为|cos n<r，125|B D>=u u u u r．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，且经过点31,2T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >的直线1l 经过点()0,2M ，与椭圆C 交于G ，H 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；实数m的取值范围是6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）根据椭圆定义计算a ，再根据a ，b ，c 的关系计算b 即可得出椭圆方程；（2）设直线1l 方程为2y kx =+，与椭圆方程联立方程组，求出k 的范围，根据根与系数的关系求出GH 的中点坐标，求出GH 的中垂线与x 轴的交点横，得出m 关于k 的函数，利用基本不等式得出m 的范围． 【详解】（1）由题意可知1c =，1(1,0)F -，2(1,0)F ．又12352||||422a TF TF =+=+=，2a ∴=，b ∴==∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）若存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形， 则P 为线段GH 的中垂线与x 轴的交点．设直线1l 的方程为：2y kx =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：22(34)1640k x kx +++=，△2225616(34)0k k =-+>，又0k >，故12k >． 由根与系数的关系可得1221634kx x k+=-+，设GH 的中点为0(x ，0)y ，则02834k x k =-+，0026234y kx k =+=+， ∴线段GH 的中垂线方程为：22186()3434k y x kk k =-++++， 令0y =可得2223344k x k k k -==-++，即234m k k=-+． 12k >Q，故34k k +=…，当且仅当34k k =即k =时取等号，m ∴-=…，且0m <． m ∴的取值范围是[0)．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．在最新公布的湖南新高考方案中，“312++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（3）某高校A在其热门人文专业B的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A高校B专业报名资格的人数为X，用样本的频率估计概率，求X的分布列与期望.【答案】（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330，推理得对应开设选修班的数目分别为15，7．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p==．用频率估计概率，则~(3,0.3)X B，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为720，330．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，7．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：则2240(191056)7.111 6.63525152416K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为120.340p ==． 用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，分布列如下：数学期望为()30.30.9E X np ==⨯=． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 21．已知函数()()2ln 12a x f x x =++. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，()'f x 为()f x 的导函数，设()()1212'18x m f x f x +=+⋅+，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值.【答案】（1）单调递增区间为11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）m 的取值范围是13ln ,1ln 224⎡⎫+-⎪⎢⎣⎭；对应的a 的值为163. 【解析】（1）当1a =-时，求()f x 的导数可得函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，利用导函数211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++，可得a 的范围，再表达1212()(1)8x m f x f x +'=++g ，构造新函数可求m 的取值范围，从而可求m 取到最小值时所对应的a 的值． 【详解】（1）函数2()(1)2a f x ln x x =++由条件得函数的定义域：{|1}x x >-， 当1a =-时，21()(1)2f x ln x x =+-，所以：211()11x x f x x x x --+'=-=++， ()0f x '=时，x =，当(x ∈-时，()0f x '>，当x ∈，)+∞时，()0f x <， 则函数()f x的单调增区间为：(-，单调递减区间为：，)+∞； （2）由条件得：1x >-，211,()11ax ax f x ax x x ++'=+=++， 由条件得2()10x ax ax ϕ=++=有两根：1x ，2x ，满足121x x -<<，∴△0>，可得：0a <或4a >；由(1)0a ϕ->g，可得：0a >． 4a ∴>，Q 函数()x ϕ的对称轴为12x =-，121x x -<<，所以：21(2x ∈-，0)；22210ax ax ++=Q ，可得：221(1)a x x =-+，2222222()(1)(1)22(1)x a f x ln x x ln x x ∴=++=+-+， 121x x +=-Q ，则：121x x =--，所以：212221222111(1)()8884(1)x x ax ax f x f x x +--+'+='-===+g ；所以：2222222211(1)(1)2(1)4(1)4(1)x x m ln x ln x x x x -=+-+=+-+++，令23()4x h x lnx x-=-，211(2x x =+∈，1)，则221343()44x h x x x x -'=-=， 因为：()0h x '=时，34x =，所以：()h x 在1(2，3)4上是单调递减，在3(4，1)上单调递增，因为：1()122h ln =-，h （1）14=，313()424h ln =+，1()2h h >（1），所以13()[24h x ln ∈+，12)ln -；即m 的取值范围是：13[24ln +，12)ln -；34x =，所以有2314x x =+=，则214x =-，22116(1)3a x x =-=+； 所以当m 取到最小值时所对应的a 的值为163； 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线l 与y 轴的交点为,Q M 是曲线C 上的动点，求点,M Q 的最大距离.【答案】（1）2216x y +=，2y x =+，直线l 的倾斜角为4π（2【解析】（1）由公式22sin cos 1αα+=消去参数得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线l 与y 轴交点Q ，用参数表示M 点坐标，求出MQ ，利用三角函数的性质可得最大值． 【详解】（1）由,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是： 2216xy +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得2y x =+直线l 的倾斜角为4π（2）在曲线C 上任取一点),sin Mαα，直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题． 23． 设函数(),0f x x a a =+>.(Ⅰ)当2a =时，求不等式()2f x x <的解集；(Ⅱ)若函数()()()1g x f x f x =+- 的图象与直线11y =所围成的四边形面积大于20,求a 的取值范围.【答案】（1）()()12-∞-⋃+∞，，（2）()0,4 【解析】【详解】(Ⅰ)当2a =时，不等式为22x x +<.若2x ≥-，则22x x +<，解得2x >或1x <-，结合2x >-得2x >或21x -≤<-. 若2x <-，则22x x --<，不等式恒成立，结合2x <-得2x <-.第 21 页 共 21 页 综上所述,不等式解集为()()12-∞-⋃+∞，，. (Ⅱ)()21,1121,121,x x a g x x a x a a a x a x x a -≥+⎧⎪=++--=+-<<+⎨⎪-+≤-⎩则()g x 的图象与直线11y =所围成的四边形为梯形,令2111x -=,得6x =,令2111x -+=，得5x =-,则梯形上底为21a +, 下底为 11,高为()1121102a a -+=-.()()1121S 102202a a ⎡⎤++⎣⎦=->. 化简得2200a a +-<，解得5a 4-<<，结合0a >，得a 的取值范围为()0,4. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。