第七章 振动学基础一、填空1．简谐振动的运动学方程是 。
简谐振动系统的机械能是 。
2．简谐振动的角频率由 决定，而振幅和初相位由 决定。
3.达到稳定时，受迫振动的频率等于 ，发生共振的条件 。
4．质量为10-2㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t ππ=-+的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，则振动周期为 初相位 速度最大值 。
5．物体的简谐运动的方程为s ()x A in t ωα=-+，则其周期为 ，初相位6．一质点同时参与同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为10.1cos()4x t πω=+，20.1cos()4x t πω=-，其合振动的振幅为 ，初相位为 。
7．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为)4cos(06.01πω+=t x ，250.05cos()4x t πω=+，其合振动的振幅为 ，初相位为 。
8．相互垂直的同频率简谐振动，当两分振动相位差为0或π时，质点的轨迹是 当相位差为2π或32π时，质点轨迹是 。
二、简答1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动0.02cos(10)6x t π=+,(各量均采用国际单位).三、计算题7.1 质量为10×10-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos （8πt+2π/3）的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，试求：（1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；（2）最大恢复力，振动能量；（3）t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻的相位是多少？（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻矢量的位置。
7.2 一个沿着X 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：（1）X 0=-A ；（2）过平衡位置向正向运动；（3）过X=A/2处向负向运动；（4）过X=2A处向正向运动。
试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。
7.3 做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m ·s -1，振幅为0.02m ，若令速度具有正最大值的时刻为t=0，试求：（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）振动的表达式。
7.4 有一系统做简谐振动，周期为T ，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能和势能相等？7.5 一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m ，如果把砝码向下拉0.02m 释放，求其振动频率，振幅和能量。
7.6 如图所示，两轻弹簧与物体m 串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。
试证，在这种情况下，振动频率为 m K K f 2121+=π，式中k 1，k 2为两弹簧的劲度系数，m 为物体的质量。
7.7已知两个同方向简谐振动：X 1=0.05cos （10t+3/5π），X 2=0.06cos （10t+1/5π），式中x 以m 计，t 以s 计。
求合振动的振动和初相位；另有一同方向简谐振动x 3=0.07cos （10t+α），问α为何值时，x 1+x 3的振幅最小？ α为何值时，x 2+x 3的振幅最小？用旋转矢量法表示（1）和（2）的结果。
第七章 振动学基础答案一、填空1．()αω+=t A x cos ，2222121A m kA E ω或= 2．系统自身的性质，初始条件 3．强迫力的频率，强迫力的频率等于系统的固有频率 4．20.25,,0.8(/)3s m s ππ-5．2,2ππαω+ 6．0.14，0 7．0.01，4π 8．直线，正椭圆 二、简答1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
弹簧为轻弹簧，其质量可忽略。
物体可视为质点，所受阻力忽略不计。
2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
振动系统在线性回复力作用下，在平衡位置附近做的周期性的振动，称为简谐振动。
系统在阻力作用下作振幅不断减小的振动叫阻尼振动。
系统在周期性外力作用下所做的振动叫受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动0.02cos(10)6x t π=+,(各量均采用国际单位).三、计算7.1 质量为10×10-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos （8πt+2π/3）的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，试求：(1)振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；(2)最大恢复力，振动能量；(3)T=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻的相位是多少？(4)画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻矢量的位置。
解：（1）将小球的振动方向与简谐振动的方程比较：X=Acos （ωt+α） x=0.1cos （8πt+32π） 圆周率：8ωπ=； 周期：T=ωπ2=41s ； 初相位： α=32π 速度： v=dt dx =-A ωsin （ωt+α）=-0.1×8πsin （8πt+32π） V max =0.1×8π=2.5m/s加速度： a=dtdv =-ω2Acos （ωt+α）= —（8π）2×0.1cos （8πt+32π） a max =0.1（8π）2=6.4π2=63.1m/s 2（2）最大恢复力：F=m a max =10×10-3×63.1N=0.631N振动能量： E=E K + E P =21KA 2=0.032 J (3)t=1s 832π ϕ=ωt+α=8π×1+32π=832π t=2s 时1632π ϕ=8π×2+32π=1632π t=3s 时4032π ϕ=8π×5+32π=4032π t=3s 时8032π ϕ=8×10+32π=8032π (4)当t=1s 时 ϕ=832π，矢量的位置和t=0时重合。
当t=2s 时 ϕ=1632π，矢量的位置和t=0时重合。
当t=5s 时 ϕ=4032π，矢量的位置和t=0时重合。
当t=10s 时 ϕ=8032π，矢量的位置和t=0时重合。
7.2 一个沿着X 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：（1）X 0=-A ；（2）过平衡位置向正向运动；（3）过X=A/2处向负向运动；（4）过X=2A处向正向运动。
试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。
解：x=Acos （ωt+ α） ω=T π2 X==Acos （Tπ2t+α） （1）当x 0=-A 时，t=0时，cos α=-1 α=π 振动方程 x= Acos （T π2t+π） （2）过平衡位置正向运动已知：t=0，x=0，v>0X=Acos （T π2t+α）=0 t=0 α=±2π V=-A T π2sin （T π2t+α）>0 ∴α=-2π 振动方程：x=Acos （T π2t-2π） （3）过x=2A 处向负向运动 已知 t=0，x= 2A ，v<0 由 X=Acos （T π2t+α）=0 当t=0，x= 2A α= ±3π V=-A T π2sin （T π2t+α）<0 ∴α=3π 振动方程：x=Acos （T π2t+3π） （4）过x=2A处向正向运动x=Acos （T π2t+ α） 当t=时，x=2A且v>0振动方程：x=Acos （T π2t- 4π） 7.3 做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m ·s -1，振幅为0.02m ，若令速度具有正最大值的时刻为t=0，试求：（1）振动周期；34π（2）加速度的最大值；0.045m ·s -2 （3）振动的表达式。
23rad/s 解：V max =A ω=0.03m/s -1，A=0.02mω=23rad/s （1）T=ωπ2=34π （2）a max =A ω2=0.02×（23）2=0.045m ·s -2 （3）x=Acos （ωt+ α）T=0时。
X=0，v>0当t=0时，x=0则α=±2π，v=-A ωsin （ωt+ α）>0 则α=- 2π 振动表达式为：x=0.02cos （23t-2π） 7.4 有一系统做简谐振动，周期为T ，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能和势能相等？解：初相位为0，其振动表达式可以表示为：X=Acos ωt=Acos （T π2t ） 动能等于势能，即X=Acos ωt V=-AT π2sin （Tπ2t ） ∴21mA 2ω2cos 2ωt=21mA 2（T π2）2 cos （Tπ2t ） 21mA 2（T π2）2cos 2（T π2t ）=21mA 2（T π2）sin 2（Tπ2） cos 2（T π2t ）= sin 2（Tπ2） 又cos 2（T π2t ）+ sin 2（T π2）=1∴ cos 2（T π2t ）=21 2()(0,1,2)4t k k T πππ=±=±±L 1()(0,1,2)28k t T k =±=±±L 7.5 一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m ，如果把砝码向下拉0.02m 释放，求其振动频率，振幅和能量。
解：mg=kx 0.1×9.8=0.05k k=19.6N/mω2=km ω=14rad/s 振动频率：f=πω2=2.2（Hz ） 振幅：A=0.02m能量：以平衡位置为零势面，系统总能量在砝码处于位移最大处的弹性势能 E=21kA 2=0.0392J 7.6 如图所示，两轻弹簧与物体m 串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。
试证，在这种情况下，振动频率为f=mK K 2121+π，式中k 1，k 2为两弹簧的劲度 系数，m 为物体的质量。
证明：以物体m 为隔离体,水平方向受12k ,k 的弹性力12F ,F ,v v 以平衡位置为原点建立坐标系O x -，水平向右为x 轴正方向。
设m 处于O 点对两弹簧的伸长量为0，即两个弹簧都处于原长状态。
m 发生一小位移x 之后，弹簧1k 的伸长量为x ，弹簧2k 被压缩长也为x 。
故物体受力为：x 1212F k x k x=(k k )x =---+ （线性恢复力）m 相当于受到刚度系数为12k=k k +的单一弹簧的作用由牛顿第二定律：21222122d x m (k k )x dt d x m (k k )x=0dt=-+++2120k k m ω+=∴f= πω2=π21mk k 21+ 7.7已知两个同方向简谐振动：X 1=0.05cos （10t+3/5π），X 2=0.06cos （10t+1/5π）， 式中x 以m 计，t 以s 计。