习题精解7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.6所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。

解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。

因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。

根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 024IdldB Rμπ=方向垂直纸面向内。

半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 000220444RIIdl I B R R R Rπμμμπππ===⎰方向垂直纸面向里。

（2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。

因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。

根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 024IdldB R μπ=方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为00022204428RIIdl I R B R R Rπμμμπππ===⎰方向垂直纸面向里。

7.2 如图7.7所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为，试求P 点磁感应强度。

解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。

AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为 0120(cos cos )4IB r μθθπ=- 式中120,,2r a πθθπ=== 。

所以500(cos cos ) 4.010()42I B T a μπππ=-=⨯ 方向垂直纸面向里。

7-3 如图7.8所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。

解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 ()0120cos cos 4IB r μθθπ=-式中1200,,26r r πθθ=== ，所以00cos 0cos 1262I I B r r μμπππ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭方向垂直纸面向里。

同理，DE 段在P 点所产生的磁感应强度为005cos cos 1262I I B r r μμππππ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 圆弧段在P 点所产生的磁感应强度为 200032224436IIdl I B r r r rπμμμπππ===⎰O 点总的磁感应强度为0001231122226I I IB B B B r r rμμμππ⎛⎫⎛⎫=++=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 方向垂直纸面向里。

7-4 如图7.9所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A 、B 两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O 点的磁感应强度。

解 因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为1l ，电流强度为1I ，电阻为1R ，第二段圆弧长为2l ，电流强度为2I ，电阻为2R ，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 1122I R I R = 电阻1R Sρ=，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有 1122I l I l =由于第一段圆弧上的任一线元在O 点所产生的磁感应强度为 01124I dldB R μπ=方向垂直纸面向里。

第一段圆弧在O 点所产生的磁感应强度为 10011112244l I dl I l B R Rμμππ==⎰方向垂直纸面向里。

同理，第二段圆弧在O 点所产生的磁感应强度为 20022222244l I dl I l B R R μμππ==⎰方向垂直纸面向外。

铁环在O 点所产生的总磁感应强度为0011221222044I l I l B B B R R μμππ=-=-=7-5 在真空中有两根互相平行的截流长直导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的电流120I A =,210I A =，如图7.10所示，求12,L L 所决定的平面内位于2L 两侧各距2L 为0.05m的a,b 两点的磁感应强度为B 。

解 截流长直导线在空间产生磁感应强度为 02IB xμπ=长直导线在a,b 两点产生磁感应强度为 010111,20.0520.15a b I I B B μμππ==⨯⨯ 方向垂直纸面向里长直导线2L 在a,b 两点产生的磁感应强度为 020222,20.0520.05a b I I B B μμππ==⨯⨯ 长直导线2L 在a 点产生磁感应强度为 4010212 1.210()20.0520.05a a a I I B B B T μμππ-=+=+=⨯⨯⨯方向垂直纸面向里在b 点产生磁感应强度为5010212 1.3310()20.1520.05b b b I I B B B T μμππ-=+=+=-⨯⨯⨯方向垂直纸面向外7-6 如图7.11（a ）所示载流长直导线中的电流为I ，求通过矩形面积CDEF 的磁通量。

解 在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =（如图7.11（b ））截流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 0022m I Id dS ldx x xμμφππ== 通过矩形面积的总磁通量为 00ln 22b m a I Il b ldx x aμμφππ==⎰7-7 一载流无限长直圆筒，内半径为a ，外半径为b ，传到电流为I ，电流沿轴线方向流动，并均匀的分布在管的横截面上，求磁感应强度的分布。

解 建立如图7.12所示半径为r 的安培回路，由电流分布的对称性，L 上各点B 值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有cos 2LLLB dl dl B dl B r I θπμ'•====⎰⎰⎰可得 02I B rμπ'= 其中I '是通过圆周L 内部的电流.当r a <时， 0,0I B '==当a r b <<时， 222202222(),2I I r a r a I B b a r b a μπ--'==--当r b >时， 0,2I I I B rμπ'==7-8 一根很长的电缆由半径为1R 的导体圆柱，以及内外半径分别为2R 和3R 的同轴导体圆柱构成。

电流I 从一导体流出，又从另一导体流回，电流都沿轴线方向流动，并均匀分布在其横截面上，设r 为到轴线的垂直距离，试求磁感应强度随r 的变化。

解 由电流分布具有轴对称性，可知相应的磁场分布也具有轴对称性，根据安培环路定理，有2LLB dl b dl B r I πμ'•===⎰⎰可得 02I B rμπ'= 其中是通过圆周L 内部的电流，当r R <时， 202211r ,2I I r I B R R μπ'== 当12R r R <<时， 0,2II I B rμπ'==当23R r R << 时， ()2222223032222222323232(),2I R r I R r I r R I I B R R R R r R R μπ---'=-==--- 当3r R >时， 0,0I B '==7-9一根很长的同轴电缆，由一导线圆柱（半径为a ）和一同轴的导线圆管（内、外半径分别为b 、c ）构成。

使用时，电流I 从一导体流出，从另一导体流回。

设电流都是均匀分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（r<a ）；（2）两导体之间（a<r<b ）;(3)导体圆管内（b<r<c ）;(4)电缆外（r>c ）各点处磁感应强度的大小。

解 如图7.13所示，由电流分布具有轴对称性可知，相应的磁场分布也具有轴对称性。

根据安培环路定理有 02LLBdl B dl B r I πμ'===⎰⎰可得02I B rμπ'=其中I '是通过圆周L 内部的电流（1）当r a <时， 2022,2I Ir r I B a aμπ'== （2）当a r b <<时， 0,2II I B Rμπ'==（3）当b r c <<时， ()()2222220322222232,2I r b I c r I R r I I B c bc b r R R μπ---'=-==--- （4）当3r R >时， 0,0I B '==7-10 一载有电流7.0I A =的硬导线，转折处为半径为0.10r m =的四分之一圆周ab 。

均匀外磁场的大小为1B T =，其方向垂直于导线所在的平面，如图7.14所示，求圆弧ab 部分所受的力。

解 在圆弧ab 上取一电流元Idl ，此电流元所受安培力为 dF Idl B =⨯ 把dF 沿轴正交分解，有图7.14有cos cos x dF dF BI dl θθ== sin sin y dF dF BI dl θθ== 由于dl Rd θ=，所以 cos sin x y dF BI Rd dF BI Rd θθθθ==因此x x y y F dF BIR F dF BIR====⎰⎰整个圆弧ab 所受的安培力为x y F F i F j BIRi BIRj =+=+7-11 用铅丝制作成半径为0.05R m =的圆环，圆环中载有电流7I A =，把圆环放在磁场中，磁场的方向与环面垂直，磁感应强度的大小为1.0T ，试问圆环静止时，铅丝内部张力为多少？解 如图7.15所示，整个圆环所受的合力为零，圆环静止不动。

欲求圆环内部任意一点的张力，可把圆环沿直径分为左右两部分，其中左半部分所受的安培力为，而左半部分又保持静止不动，则必有22BI R T = 铅丝内部张力T 为0.35()T BIR N ==7-12 通以电流I 的导线abcd 形状如图7.16所示，ab cd l ==,bc 弧是半径为R 的半圆周，置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，B 的方向垂直纸面向里。

求此导线受到的安培力的大小和方向。

解 建立如图7.16所示的坐标系。

由安培定理得两线段和受力大小相等，方向相反，二力合力为零，导线所受力即为半圆弧所受力。

在bc 弧上任取一电流元Idl ，其受力为 dF Idl B =⨯由对称性可知sin 2x x y y F dF F dF BIR d BIRπππθθ=====⎰⎰⎰导线所受力2F BIRj =7-13 直径0.02d m =的圆形线圈，共10匝，通以0.1A 的电流时，问：（1）它的磁矩是多少 ？（2）若将该线圈置于1.5T 的磁场中，它受到的最大磁力矩是多少？ 解 （1）载流圆形线圈的磁矩大小为2420.02100.1 3.110()2m NIS A m π-⎛⎫==⨯⨯⨯=⨯• ⎪⎝⎭（2）线圈置于的磁场中，它受到的最大磁力矩是442max 3.110 1.5 4.710()M mB N m --==⨯⨯=⨯•7-14 一电子动能为10eV ，在垂直于匀强磁场的平面内做圆周运动，已知磁感应强度41.010B T -=⨯，试求电子的轨道半径和回旋周期。