非线性数学模型的线性化
假设有一个输入为 )(t x 、输出为 )(t y 、其输入-输出关系为 ()x f y =的系统，如图3.52所示， )(t y 与 )(t x 之间具有非线性关系。

),(00y x A 为系统的工作点，即 )(00x f y =，在A 点附近，当输入变量 )(t x 作 x ∆变化时，对应的输出变量的增量为 y ∆。

而对于通过 A 点的切线， x 变化 x ∆时， y 的增量为 'y ∆。

显然，当 x 在平衡工作点A 附近只作微小的变化 x ∆，则 y ∆≈'y ∆，故可近似地认为有
y ∆≈xtga y ∆=∆' （3.88）
式中 tga ——函数 ()x f y =在 ),(00y x A 点处的导数。

图3.52 非线性关系线性化
以增量为变量的微分方程，称为增量方程，故式(3.88)为线性增量方程。

由此可见，在滑动范围内， y ∆可用 'y ∆近似而和 x ∆有线性关系，即可用切线代替原来的非线性曲线，从而把非线性问题线性化了。

这种线性化方法，称为滑动线性化法，或切线法。

滑动线性化的这种近似，对大多数控制系统来说都是可行的。

首先，控制系统在通常情况下，都有一个正常的稳定的工作状态，称为平衡工作点。

例如，恒温控制系统的正常工作状态是输入、输出为常值(输出为被控温度，输入为期望值)。

其次，当系统的输入或输出相对于正常工作状态发生微小偏差时，系统会立即进行控制调节，力图去消除此偏差，因此可以看出，这种偏差是“小偏差”，不会很大。

滑动线性化这种近似，用数学方法来处理，就是将变量的非线性函数展开成泰勒级数，分解成这些变量在某工作状态附近的小增量的表达式，然后略去高于一次小增量的项，就获得近似的线性函数。

对于以一个自变量作为输入量的非线性函数 ()x f y =，在平衡工作点 ),(00y x 附近展开成泰勒级数，则有
()
()()()()()()0002323000023d d d 11()d 2!d 3!d x x x x x x f x f x f x y f x f x x x x x x x x x x =====+-+-+-+
略去高于一次增量 0x x x -=∆的项，便有
()()()000d d x x f x y f x x x x ==+- （3.89）
或
<![endif]> （3.90)
式中， )(00x f y =称为系统的静态方程； 0d ()
d x x f x K x ==。

式(3.89)或式(3.90)就是非线性系统的线性化数学模型。

式(3.90)为增量方程式。

若输出变量 y 与输入变量 1x 、 2x 有非线性关系，即 ),(21x x f y =，那么同样地将这个方程式在工作点 ),(2010x x 附近展开成泰勒级数，并忽略二阶和高阶导数项，便可得到 y 的线性化方程为
)
()(),(20221011201020210120
2101x x x f x x x f
x x f y x x x x x x x x -∂∂+-∂∂+=====（3.91） 写成增量方程式，则有
22110x K x K y y y ∆+∆=∆=-
（3.92） 式中， ),(20100x x f y =为系统静态方程， 2021012021012211;x x x x x x x x x f K x f K ====∂∂=∂∂=。