自动控制理论
第二章 系统方程列写 ——建模
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 相似电路 其他的数学建模实例
机械旋转系统 热力系统 液位系统 ……
系统传递函数的计算 非线性系统的线性化
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线性化
线性化：为什么？如何？
式中 Rn+1为余项，ϕ0和 if0 为原平衡点,
Δϕ
dϕ d 2ϕ ( )0 ,( 2 )0 , … di f di f
为原平衡点处的一阶、 二阶、…导数.
Δϕ
Δif =if - if 0
Δif Δif
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线性化
非线性方程的线性化方法
忽略泰勒级数右端第三项及其以后的各项
dϕ 1 d 2ϕ ϕ = ϕ0 + ( )0 Δi f + ( 2 )0 (Δi f ) 2 + di f 2! di f 1 d nϕ + ( n )0 (Δi f ) n + Rn +1 n ! di f
T = f (ec , ω)
(1)
从方程 (1)可得
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
显然，交流伺服电机的动态模型是非线性的。
dΔω J = Δ T − B Δ ω = f (ec , ω ) − B Δ ω − T0 dt
定子
输出 ω
?
利用线性化处理来近似描述 系统的非线性特性，也许可 以得到足够的分析精度。
2
L := 100cm
θ 0 := 0rad
θ := −π ,
−15π 16
.. π
( ) ( )(
10
T1( θ ) := M ⋅ g ⋅ L⋅ sin ( θ ) T2( θ ) := M ⋅ g ⋅ L⋅ cos θ 0 ⋅ θ − θ 0 + T0
)
5
T 1( θ ) T 2( θ ) 0
5
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第二章总结 首先，介绍了建模的基本概念及重要性 为了列写微分方程及状态方程，介绍了一些物 理系统及相应的物理规律，包括：电气、机械、 热力、液位等 介绍了矩阵、状态、传递函数、方块图等基本 概念 介绍了线性化概念及方法
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第二章总结
输入输出变量 方程的阶——储能元件 输入输出模型的一般形式 状态空间方程 问题：各种模型之间的关系是如何的？
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第二章总结 各种模型之间的关系
微分方程 LT (LT)-1
???
传递函数（拉普拉斯形式） ? 状态方程
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控制科学与工程学系
dϕ ϕ = ϕ0 + ( )0 Δi f di f
Δϕ
原平衡点是已知的，故是可以从 左图的曲线求得
Δϕ
dϕ ( )0 = tanα = L ' f di f
Δif Δif
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线性化
非线性方程的线性化方法
dϕ ( )0 = tanα = L ' f di f
式中的L’f为常值，在不同平衡点有不同的值。 因此该式可写为：
ϕ = ϕ0 + L ' f Δi f
或
Δϕ
Δϕ = ϕ − ϕ0 = L ' f Δi f
在平衡点附近，经过线性化处理
Δϕ
（忽略偏移量的高次项）后，原方 程的偏移量间已经具有线性关系了。 偏移愈小，这个关系愈准确。
Δif Δif
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w ，控制 输入为uf 。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微 量Δuf引起的变化过程。 (1) 对激磁电路有：
输入 ec
定子
参考磁场
图2.28 (a)
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
线性化：在工作点（这里是原点）附近，利用泰勒级数展开将非 线性函数 T 进行线性化，并保留线性项，可以得到
定子
输出 ω
输入 ec
定子
参考磁场
图2.28 (a)
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线性化
非线性系统 例2：钟摆
列写钟摆的动态方程 输入 u
ml 2 θ = u − mgl sin( θ )
dϕ Rf if + =u f dt
(2) 找出中间变量ϕ与其它变量的关系，同时线性化。 小偏差过程可用以下办法使之线性化。 如前所述，设在平衡点的邻域内， ϕ 对if的各阶导数（直至n+1） 是存在的，它可展成泰勒级数。
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
经线性化后，得到激磁回路偏移量间的线性关系，动态电感L’f 为常值，但在不同平衡点有不同的值 。
参考磁场
于是 Jห้องสมุดไป่ตู้
dΔω + (B − K dt
ω
)Δ ω = K c Δ ec
或
dω J + ( B − K ω )ω = K c ec dt
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线性化
非线性系统 例2：钟摆
输入 u
u l
θ
列写钟摆的动态方程 输出
ml 2 θ = u − mgl sin( θ )
mg
g g 1 1 θ = − sin(θ) + 2 u = − f (θ) + 2 u l l ml ml
dΔω ∵ J = Δ T − B Δ ω = f (ec , ω ) − B Δ ω − T0 dt
T = f (ec , ω)
泰勒级数展开
T = T0 ec =ec 0
ω=ω0
∂f + ∂ec
∂f Δec + Δω ec =ec 0 ∂ω ec =ec 0
ω=ω0 ω=ω0
ec
= T0 + K c Δec + K ω Δω
L' f Rf
= T f' 它为激磁回路动态时间常数，则有：
T
' f
d Δi f
1 + Δi f = Δu f dt Rf
上式把原来的非线性数学模型，转化成了以偏移量表示的常系数线性 数学模型。在线性化过程中，只考虑了泰勒级数中的一次偏量，故该 式又称为一次线性化方程式。
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
在平衡点
dϕ0 Rf if 0 + = uf 0 dt
R f Δi f + L f
'
两式相减激磁回路偏移量微分方程式：
dΔi f dt
= Δu f
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线性化
非线性方程的线性化方法:例题
上面得到的激磁回路偏移量微分方程式：
R f Δi f + L f
'
dΔi f dt
= Δu f
在熟练后通常可直接对原方程式两边取增量求得，从而简化推导过程。 若令
10
4
3
2
1
0 θ
1
2
3
4
Students are encouraged to investigate linear approximation accuracy for different values of θ 0
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线性化
小结
要建立整个系统的线性化微分方程式， 1. 首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点； 2. 然后列出各元件在工作点附近的偏移量方程式，消 去中间变量； 3. 最后得到整个系统以偏移量表示的线性化方程式。
利用线性化方法，可以得到钟摆动态方程为
f (θ) ≈ f (θ0 ) + df (θ − θ 0 ) ⇔ sin(θ) ≈ 0 + cos(0)θ ⇔ sin(θ) ≈ θ dθ θ0 =0 θ≈− g 1 θ+ 2 u l ml
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线性化
非线性系统 例2：钟摆
M := 200gm T0 := M ⋅ g ⋅ L⋅ sin θ 0 g := 9.8 m s
Δϕ
Δϕ
Δif
Δif
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线性化
非线性方程的线性化方法
设非线性函数
ϕ = f (i f )
设在平衡点的邻域内， ϕ 对if的各阶导数（直至n+1）是存在的， 它可展成泰勒级数：
dϕ 1 d 2ϕ ϕ = ϕ0 + ( )0 Δi f + ( 2 )0 (Δi f )2 + di f 2! di f
1 d nϕ + ( n )0 (Δi f ) n + Rn +1 n ! di f
4
线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
Stator(定子)
输出 ω
对于非线性系统（见图2.28 (b)）， 转矩-速度平衡方程为
输入 ec
T − Bω = 0
Stator(定子) 参考磁场
(2)
图2.28 (a)
转 矩 伺服电机特性 速度
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线性化
非线性系统 例1：交流伺服电机
当出现小变动时，系统平衡方程将变成
Stator(定子)
输出 ω
根据交流伺服电机的平衡方程，有
输入 ec
T = f (ec , ω)
Stator(定子) 参考磁场
(1)
对于非线性系统（见图2.28 (b)），转 矩-速度平衡方程为
图2.28 (a) 考虑线性关系
T − Bω = 0
(1‘)
(2)
dθ d 2θ +b T =J dt dt 2
g g 1 1 sin(θ) + 2 u = − f (θ) + 2 u l l ml ml