一、基本知识
1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位，规定： （1）它的平方等于-1，即
i
2
1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据对虚数单位i的运算规定易知：
i 1, i
4n
4 n1
i, i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
2.复数的表示形式是怎样的？
形如 a bi(a, b R ) 的数，叫做复数．
C {z | z a bi, 其中a, b R)
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字 母C表示 . 实部 虚部 通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) 当 b 0 时，z 是实数a． 复数 叫做纯虚数． 实 数 集
答案：C
z +z+ z =3，则z对应点的轨迹 例12.复数z满足z·
是____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
2 2
2
(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比 较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。 典型例题：一、代数运算
1 3 i 求证： 例3：设w= 2 2 ① 1+w+w2=o ②w3=1
例6：实数m取什么值时，复数
(m 8m 15) (m 5m 14)i
2 2
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？ 例7：已知 z 2 z 4i, 求复数z.
2 bi 例9.如果复数 （其中i为虚数单位，b为实数） 1 2i
的实部和虚部互为相反数，那么b等于
A.
2
2 B. 3
2 C.－ 3
D.2
2 bi (2 bi)(1 - 2i) 2 2b (b 4)i 解析： = = 5 1 2i 5 2 ∴2－2b=b+4，b=－ . 3
3.两复数相等的充要条件是什么？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就 说这两个复数相等．即如果 a , b, c, d R ，那么
a bi c di a c, b d
例2 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ，其中 x, y R ， 求 x与 y .
当 b 0时，z 叫做虚数． 当 a 0 且 b 0时，z bi 复数集C
虚数集I
R
例1：实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？(口答）
解：（1）当 m 1 0，即 m 1 时，复数z是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时， 复数z 是纯虚数．
9、补充概念。 (1)复数z a bi的模 | z |2 a 2 b2 ;
(2)复数z a bi的共轭复数，记为： z a－bi， 即实部相等，虚部成相 反数的复数互为共轭复 数;
(3) z z (a bi ) (a－bi ) a b z .
解： 1 ( 3 y )
5 所以 x , y 4 2
4.复数的几何意义是怎样的？
复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点y，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的 点都表示非纯虚数。
y Z（a，b）
O
x
5、复数的加法法则
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
6、复数的减法法则
（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。
注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 部与虚部分别相加（减），即
（a+bi）±（c+di）=（a ± c） + （b±d）i
7、复数的乘法
z1· z2=(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i 注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须 在所得的结果中把i2 换成-1，并把实部与虚部分开。
8、复数的除法
a bi （a+bi）÷ （c+di) 或 c di (a bi )(c di ) a bi (c di )(c di ) c di ac bd (bc ad )i 2 2 c d ac bd bc ad 2 2 i 2 2 c d c d