弹性力学基本知识考试 一、基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。

（3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。

圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。

（4） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。

这种问题称为空间轴对称问题。

二、平衡微分方程：(1) 平面问题的平衡微分方程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。

x y xy ux v y v u x yεεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂（记）1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。

（刚体位移） 三、物理方程；（1） 平面应力的物理方程；()()()1121x x y y y x xy xyE EEεσμσεσμσμγτ=-=-+=（记）（2） 平面应变的物理方程；()22111121x xy y yx xy xyE E Eμμεσσμμμεσσμμγτ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭+=四、边界条件；（1） 几何边界条件；平面问题：()()()()s s u u s v v v == 在u s 上；（2） 应力边界条件；平面问题：()()xyx xsxyy ysl m f l m f σττσ+=+=（记）（3） 接触条件；光滑接触：()()n nσσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()()()n n n n u u σσ'='= n 为接触面的法线方向1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。

.6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。

9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。

它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。

（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。

如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。

.5.平面问题的应力边界条件为1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A ．相容方程B ．近似方法C ．边界条件D ．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A ．几何上等效B ．静力上等效C ．平衡D ．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

)()()()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσμμμμ-⇒-⇒112E E 填空A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。

1、弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。

弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。

（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。

平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？ 答：（1）相容方程：04=Φ∇（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：()()()上在στστσs s f l m f m l ys xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨⎧=+=+（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

问答题(36)1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。

2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。

1．平衡微分 几何 物理 应力 位移2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律。

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。

C. 本构关系为非线性弹性关系。

D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

4．弹性力学的基本未知量没有 C 。

A. 应变分量。

B. 位移分量。

C. 面力分量。

D. 应力分量。

5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。

A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。

B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。

C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。

D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。

一、计算题（共15分）如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为γ的液体，右侧为自由表面。

试写出以应力分量表示的边界条件。

解：在平面应力边界条件下，应力须满足x yx x xy y yl m f l m f σττσ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩（1） (5)在x ytg β=表面处，cos l β=， (1)sin m β=-； (1)0x f =， ....................................(1) 0y f = (1)代入公式（1），得cos sin 0cos sin 0x yx xy y σβτβτβσβ-=⎧⎨-=⎩ ....................................(1) 在x ytg α=-处，cos l α=-， (1)sin m α=-； (1)cos x f y γα=， ....................................(1) sin y f y γα= (1)代入公式（1），得cos sin cos cos sin sin x yx xyy y y σαταγατασαγα--=⎧⎨--=⎩ (1)四、计算题（共10分）试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？x Axy ε=，3y By ε=，2xy C Dy γ=-；解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂ ………………………………(4) 将各分量分别代入，得22xy ε∂∂=0， ………………………………(2) 22yx ε∂∂=0， ………………………………(2) 2xy x yγ∂∂∂=0 ………………………………(2) 无论A 、B 、C 、D 取何值，都满足形变协调条件。

A 试卷1、 基本概念解释（24分，6小题） （1） 弹性力学的基本假定 （2） 平面应变问题 （3） 平面应力问题 （4） 圣维南原理 （5） 逆解法2、 简单题（40分，4题） (1) 列出图示全部边界条件。

(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 A ： )43(222243y h y x hF +=Φ B ：)2(10)134(4332332h yhy qy h y h y qx -+--=Φ (3) 根据圣维南原理，比较图示中OA 边的面力是否等效，b h >>。