单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。

对单摆运动进行分析。

其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。

从而验证单摆周期公式。

并对影响单摆周期的因素展开研究。

最后总结出影响单摆周期的因素。

关键词：数学模型 ； 单摆运动 ； 周期公式单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。

作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。

单摆问题是物理学中经典问题。

从阅读物理学史并可知道，早在 1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。

但现在这个故事的真实性受到怀疑 ,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。

专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。

”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。

伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。

他还指出周期与摆球质量无关。

他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重 100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。

”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens ）。

由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。

事实上，反过来重力加速度是 1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。

他在巴黎用一个周惠更斯期为 2s 的单摆 (即秒摆 )，测出摆长为 3.0565英尺，从而计算出2/2.9s g =。

惠更斯于 1657 年取得了关于摆钟的专利权。

惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于 1673 年在巴黎问世。

这本书共分 5部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质，第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。

这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。

1659 年，在对单摆的研究中，他导出了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之间mgθcos mg的关系。

他发表在《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》第四部分的结果[1]，相当于glT π2=在推导过程中，惠更斯使用了一个忽略周期与摆幅相关性的一个近似。

这样引入的误差在小的摆幅下可以忽略中学物理中与惠更斯有关的内容还有弹性碰撞理论、向心力理论、光的波动说。

从方法上看，惠更斯沿着伽利略开创的实验与逻辑推理相结合的道路继续前进。

和伽利略在物理研究中所采用的相对简单的数学工具相比较，惠更斯把无穷小几何方法带进了力学领域。

单摆是伽利略科学研究活动的起点,此外,单摆与自然哲学中一个历史悠久的主题。

通过参阅前人研究成果，基于普通物理实验，本文将对单摆运动周期公式规律及影响单摆周期的因素展开研究。

1单摆运动学公式单摆作为一种理想的模型，我们研究的单摆问题是在地球表面附近的情况。

简单复述如下。

如图1所示, 设摆球质量为m ，半径为r ，悬挂点O 到小球质心的长度为l （摆线长）， 且地球R l r <<<<摆球所受地球引力视为恒力mg ，且切向力θsin -mg F =切它总是指向 平衡点，在小球开始左右摆动时其运动学方 程为t F mg rl ml D ϖθθθcos sin '''=++，或t mlFm r D ϖθϖθθcos sin 02'''=++ 图1单摆受力分析Figure one pendulum stress analysis其中，θ、'''θθ和分别表示小球的角位移、角速度和角加速度，r 为阻力常数，l g=0ϖ为固有角频率。

引入lg =0ϖ，20ωm ，20ωml 作为新的基本量纲以代替原来的M ，L ，T 量纲，则方程中各个量可以改写成02ωβm r=，mg F ml F f ==2ω，0ωωωd = 由此可得到描述单摆运动的无量纲化微分方程为：t f dt d dt d ωθθβθcos sin 222=++其中，t f ,,,ωβ都是无量纲物理量，也就是纯数。

验证如下，以方括号表示原来的量纲。

1100--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T ωω ，110--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T d ωω ，110--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡MT MT m r ω ，22--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡MLT MLT mg F 2单摆运动特点判定[2]众所周知，弹簧振子振动是围绕着平衡位置作周期性运动，其运动规律符合简谐运动，而单摆运动规律与其相似。

目前，判别一个振动系统是否作简谐振动，常用的简谐运动的判断依据：kx f -= （1）020''=+x x ω （2） )cos(0a t A x +=ω （3）（1）式中f 是振子受的反向的与其位移x 成正比的线性回复力；（2）式是振子运动微分方程；（3）式说明振子的位移可以用时间的余弦函数表示。

在力学中，做简谐振动的系统振子一定受线性回复力kx f -=的作用，并且该力必须是保守性质的力。

简谐运动的本证特征：首先做简谐振动的系统必须具有动能和势能，二者相互转化，总机械能守恒。

动能和势能缺一不可，一个周期内动能和势能的平均值相等。

简谐振动缺少势能是不允许的。

其次振动所受的回复力应是系统的保守内力，系统才具有相关的势能。

第三，线性回复力总是指向稳定的平衡位置。

以上分析可以得出做简谐振动的两个特点：1）受保守力的线性回复力； 2）振动系统的机械能守恒。

[3]在如图（1）的单摆系统中根据牛顿第二运动定律，若视小球为质点（l r <<），质点的运动学方程为：θsin mg mg -=切θθsin 22mg dt d ml -=θθsin 22l gdt d -= 当θ取很小值时（05<θ），则θθ≈sin ，上式则为，θθl gdtd -=22。

至此，根据简谐振动的本证特征及判断依据可判定单摆运动时简谐运动。

3单摆周期公式求解[4]以上已经判定出单摆运动是简谐运动。

接下来根据高等数学的积分知识求解单摆运动的周期公式。

令单摆振动的角频率ω的平方等于l g /，即l g=2ω，则0222=+θωθdtd 。

由此可得出：ωππω22=⇒=T T ，利用高等数学积分公式对0222=+θωθdt d 积分得：⎰•-=2202sin 2sin 14πφθφωd T⎰•-=202021sin 2sin 12/πφθφπd T T R （4）式(4)就是所求的单摆运动周期的精确解.虽然该式是第一类椭圆积分,无法用初等函数精确计算,但|sin 22θ•sin 2φ|<<1,可用二项式定理将被积函数展开成幂级数,再逐项积分便得+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰2sin 42312sin 2112042022θθωπT T=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++ 3072111612202θθωπ （5） 式(5)是摆角小于等于2π(即0090≤θ)的任意角度的周期计算公式.[5] 当0θ非常小时, 005<θ,020≈θ,略去20θ以上高次方项得ωπ2=T 。

将ω=lg 带入即可得出单摆周期公式： glT π2= （6） 4单摆周期公式的实验验证[7]经过上面几步我们已经从理论角度求解出了单摆周期公式，接下来从实验角度验利用基础物理实验通过作图法证单摆周期公式。

由第三步单摆周期公式解glT π2=可知：单摆周期和单摆的摆线长度l 以及当地的重力加速度g 有关。

将（6）式等号左右两边同时平方得：glT 224π= （7） 在同一地点同一单摆重复做单摆实验我们认为重力加速度g 是常量，根据上式（7）式可以构建合理的数学模型kx Y =，其中2T Y =，gk 24π=。

在其他条件都相同前提下改变一个单摆的摆线长度，测量出不同的周期值T ，求出对应的Y 。

在直角坐标纸上画出L T -2图像，若图像中L T 与2成正比关系，则可以说明单摆周期公式正确。

将（6）式等号左右两边同时取对数得：)ln 21(ln 212ln 2ln ln g l g l T -++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ（8） 在同一地点同一单摆重复做单摆实验时，我们认为重力加速度g 取有相同的值是个常量，根据上式（8）式可以构建合理的数学模型b kx Y +=，其中b 是常量（g b ln 212ln -=π）。

在其他条件都相同前提下改变一个单摆的摆线长度，测量出不同的周期值T 以及摆线L ，求出对应的T 和L 的对数。

在直角坐标纸上画出对应的图像，求解出数学模型b kx Y +=的系数k 若21=k 则单摆周期公式成立。

表1 单摆周期实验数据表Table 1 Experimental data sheet pendulum cycle项目\序号 1 2 3 4 5 6 7 8 摆长)(m L 0.955 1.089 1.186 1.333 1.410 1.530 1.589 1.73 周期)(s T1.9772.111 2.203 2.234 2.402.501 2.550 2.6602T （2s ）3.9094.456 4.8535.457 5.7646.255 6.5037.076 T ln 0.682 0.747 0.790 0.848 0.876 0.917 0.936 0.978 L ln -0.046 0.086 0.174 0.287 0.344 0.424 0.464 0.548根据上表得出的数据利用matlab 曲线拟合最终作图如下图2 L T -2关系图 Figure two L T -2 diagram运用matlab 拟合得出的方程为：0085.00843.42±=l T Matlab 程序代码：clear,clc,close all ,format shortx=[0.955,1.089,1.186,1.333,1.410,1.530,1.59,1.73]; y=[3.909,4.456,4.853,5.457,5.764,6.255,6.503,7.076]; a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',25); hold on xp=0.8:0.01:1.78; yp=polyval(a,xp); plot(xp,yp,'linewidth',2); title('L T-2关系图','fontsize',10);xlabel('L','fontsize',10); ylabel('T^2','fontsize',10); grid on图3 L T ln ln -关系图 Figure three L T ln ln - diagram运用matlab 拟合得出的方程为：7043.0ln 4997.0ln +=L T Matlab 程序代码：clear,clc,close all ,format shortx=[-0.046,0.086,0.174,0.287,0.344,0.424,0.464,0.548]; y=[0.682,0.747,0.790,0.848,0.876,0.917,0.936,0.978]; a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',25); hold on xp=-0.1:0.001:0.6; yp=polyval(a,xp); plot(xp,yp,'linewidth',2); title(' lnT-lnL 关系图','fontsize',10); xlabel('lnL','fontsize',10); ylabel('lnT','fontsize',10); grid on结论：通过实验及数据处理，可知，由（6）式变换出来的（7）式绘制的L T -2图成正比关系说明（6）式单摆周期公式正确，由（6）式变换出来的（8）式绘制的T ln —L ln 图成正比关系、不过原点且斜率等于0.5可说明（6）式单摆周期公式正确。