1－4x2
＋
ln(3x
－
1)
有
意
义
，
则
1－4x2≥0， 3x－1＞0，
解
得
1 3
＜
x≤12.∴f(x)的定义域为13，12.
(2)∵f(x)
＝
2x－1，x＞0， ax＋1，x≤0，
f(
－
1)
＝
3
，
∴f(
－
1)
＝
a
－
1
＋
1
＝
3
，
则
a＝12，故
f(x)＝
2x－1，x＞0， 12x＋1，x≤0，由
f(x)≤5，∴当
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(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)(a>0)恒成立，则y ＝f(x)是周期为2a的周期函数. ②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数. ③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数. ④若 f(x＋a)＝－f(x)或f（x＋a）＝f（1x），则 y＝f(x)是周期为 2|a|的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号 “∪”连接，可用“和”或“，”连接.
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探究提高 1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象 的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象 的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不 合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表 示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质， 因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
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2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步 骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减” 的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称 的单调区间内有相反的单调性.
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热点一 函数及其表示
【例 1】 (1)(2020·合肥质检)函数 f(x)＝ 1－4x2＋ln(3x－1)的定义域为( )
A.12，1
B.13，12
C.－12，14
D.－12，12
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数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，1]
B.[1，4]
C.[4，＋∞)
D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
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解析 (1)因为f(x)＝xcos x＋sin x，则f(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)，又x∈[－π， π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝ πcos π＋sin π＝－π＜0，知B错误，只有A满足. (2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x) 在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此 a≥4或a≤1. 答案 (1)A (2)D
(2)(2020·西安模拟)已知函数 f(x)＝2axx＋－11，，xx≤＞00，，若 f(－1)＝3，则不等式 f(x)≤5 的
解集为( )
A.[－2，1]
B.[－3，3]
C.[－2，2]
D.[－2，3]
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解析
(1) 要 使 函 数 f(x) ＝
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1
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第1讲 函数图象与性质
2
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高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、 单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决 简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
)
A.(－∞，－1]
B.(0，＋∞)
C.(－1，0)
D.(－∞，0)
解析 (1)令 t＝2x，t∈(1，4)，则 f(t)＝12t2－3t＋4，t∈(1，4).由二次函数性质，－12≤f(t)
＜32，因此[f(t)]∈{－1，0，1}.则函数 y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.
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(2)当 x≤0 时，函数 f(x)＝2－x 是减函数，则 f(x)≥f(0)＝1.作出 f(x)的大致图象如图所 示，结合图象可知，要使 f(x＋1)＜f(2x)，则需2x2＋xx<＜1x≤ 0＋，01，或x2＋x<10≥，0，所以 x<0.
答案 (1)B (2)D
x＞0
时，2x－1≤5，解得
0＜x≤3，当
x≤0
时，12
x
＋1≤5，－2≤x≤0.综上，不等式 f(x)≤5 的解集为[－2，3].
答案 (1)B (2)D
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探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合， 只需构建不等式(组)求解即可. (2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解. 2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.
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【训练 2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数 y＝2x＋2x23 －x在[－6，6]的图象大致为(
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)
(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )
A.(－1，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0，1)
答案 D
7
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3.(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)
＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A.[－1，1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)
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(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1 的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2). 又f(x)＞0等价于2x＞x＋1， 结合图象，可得x＜0或x＞1. 故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D. 答案 (1)B (2)D
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【训练 1】 (1)(2020·成都诊断)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享
有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用[x]表示不
超过 x 的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函
答案 D
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2.(2019·全国Ⅰ卷)函数 f(x)＝csoins xx＋＋xx2在[－π，π]的图象大致为(
)
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解析 显然 f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，所以 f(x)为奇函数，排除 A；又当 x＝π 时， f(π)＝－1π＋π2>0，排除 B，C，只有 D 适合.
数 f(x)＝12×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数 y＝[f(x)]的值域为(
)
A.－12，32
B.{－1，0，1}
C.{－1，0，1，2}
D.{0，1，2}
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(2)设函数 f(x)＝21－ ，x，x>x0≤，0，则满足 f(x＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是(
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真题感悟 1.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A.是偶函数，且在12，＋∞单调递增 B.是奇函数，且在－12，12单调递减 C.是偶函数，且在－∞，－12单调递增 D.是奇函数，且在－∞，－12单调递减
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热点三 函数的性质及应用
角度1 函数的周期性、奇偶性
【例3】 (1)(2020·淄博二模)偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)
＝－x2＋1，则f(2 020)＝( )
A.2
B.0