d W外 d W内非 dE
守恒条件： d W外 d W内非 0
从实际出发，机械能守恒的条件定为“只有保守内力作 功”，也就是说过程中既要求 dW外＝0又要求dW非保内
＝0
讨论： • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变；保 守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会引起 质点系机械能的改变。 • 质点系机械能不变，但其动能和势能都不是不变的， 二者之间的转换是通过系统内的保守力作功来实现 的。

vB
vA
1 1 1 2 2 d ( mv ) mv B mv A 2 EkB E kA 2 2 2
2
•合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
1 p 2 •动能另一种表达式： E k mv 2 2m
2、质点系的动能定理
m2 F2 L'
f1 m1 f2
F1
L
b
m dl F dl （ E E ） E F保l =F保cosθ Pb Pa P 保
a

F保
保守力的元功：F d l d E p 保
∴
F保l d l d E p
F保l
d Ep dl
(
d Ep dl
是E p在dl 方向上的变化率)
mg (l a ) mg (l a) 1 2 mv 2l 2l 2
得v g 2 [(l a 2 ) (l a) 2 ] l
1 2 1 2 W外i Wp W f 2 mv 2 mv0 1 2 v0 0 W p W f mv 2 2 2 l l mg mg (l a ) 重力作功 W p P dr xdx a a l 2l mg (l a) 2 前已得出： W f 2 l 2 2 2
质点系：
W
i
外i
W
i
内i
W + W
外i i i
内i
=EkB - EkA EkB
EkA
说明：
1、动能是状态量，是质点因运动而具有的做功本领。 2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、动能与动量的异同： 相同点：●二者都是状态量； ===== ●二者都与质量和速度有关。 不同点：●动量是矢量，动能是标量. ●动量的增量= 外力的冲量，与内力的冲量无关； 动能的增量= 外力和内力作的总功，与内力有关。 ●动量有守恒定律，动能没有守恒定律，这是因为 ==还要考虑势能。
系统的势能 EP 具体计算
WG ( ab ) (mgzb mgza )
Mm Mm W f [( G0 ) (G0 )] rb ra 1 2 1 2 Ws ( kx2 kx1 ) 2 2
W保 F保 dr
a
b
（EPb EPa） EP
在下列情况下 处该力作的功：
W1
x 2 , y2
x1 , y1 x2
( Fx dx Fy d
O X
3
9/4 x2 dx 4dy 2 2 1 10.8J 3
x1
W2
x 2 , y2
x1 , y1
9/4 x 6 ( Fx dx Fy dy ) 2 2 dx 1 4dy 9.125J
a
1 G0 Mm rr
b
M ra
m
dl
a
功Wf 仅是位矢大小 r 的函数，而与路径无关。 r 任何有心力 f ( r ) 都有这一特点 r
⑶ 弹力的功
F kx
Ws
xb xa



1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) 2 2
ˆ ˆ ˆ 算符del x y z x y z
E p 称为EP的梯度。
小结
1.势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的,保守
力属于内力.只要有保守力，就可引入相应的势能。 2. W保内=–EP ，保守内力作正功，系统势能减少；保 守内力作负功，系统势能增加。 3. 计算势能必须规定零势能点。质点在某一点的势能大 小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零 势能点时保守力所做的功。
3、功率
dW P ， 由dW F cos ds dt ds P F cos F cos v dt 即P F v
在[ SI ]中，功的单位是J，功率的单位为瓦特 （Watt），简称瓦，符号为W。功率的量纲为ML2T-3
作用力和反作用力：f12、f 21
EP ( r0 ) 0
EPb 0 E pa
b
a
F保 d r
EP ( r )

r
F保 dr
重力势能以地面为零势能点，
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
Mm 引力势能以无穷远为零势能点。 E P引 G 1 r
EP重 mgh
EP弹
2
kx
2
4. 由势能求保守力 势能定义：
弹力作功，只决定于振子在X轴上的坐标，而与路径 无关。 保守力：做功与路径无关，仅由始末位置定
内力
非保守力：做功与路径有关 摩擦力（耗散力）：一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：作功为正。
机械能守恒定律 能量守恒与转换定律 1、质点系的功能原理 动能定理：W外+W内=EkB - EkA
W内=W保内＋W非保内
第三讲
动能定理、功能原理和机械能守恒
3.1 功，动能定理
3.2 保守力作功与势能
3.4 功能原理、机械能守恒
3-1 功、动能定理 一、功和功率 1、恒力的功
用矢量表示 F s
W F cos s
2、变力的功（变力沿曲线做的功） 解决思路：
元位移 dr 上的元功： dW F dr | F | cos dr
木块 : f - mg , s l d , W mg (l d）
d
小车 : f mg , s ' l ,W ' mgl
l
系统内力的功 : Wi W W ' mgd 0
推论：一对滑动摩擦力的功恒小于零
3.2 动能和动能定理
1. 单质点动能定理 vB B B dp W AB F dr dr dp v dt A A vA
成对力的总功只与相互作 用力及相对位移有关
z
O
dr2
x
dr ' dr2 dr1
d r '
m2相对于m1的位移
例题2：一质量为M的小车与地面光滑接触，初始静止， 一质量为m物体以初速度v0滑到小车上，物体与小车间 摩擦系数为，小车长为d，当物体碰到小车前挡板时 速度为v，此时小车移动了距离为l。试计算摩擦力做 v v0 的功。
m v dv
vA vB
vA
A
dr

vB
B
F
2 v v v d v v d v 2
2 v 2 dv v v dv d v v dv d 2
解：(1)
l-x
O
W f f dr (l x)dx a a l mg 1 2 l mg
[l
m 摩擦力 f (l x) g l l l mg
x
x
2
(lx x )]a (l a) 注意：摩擦 2 2l 力作负功！
(2) 对链条应用动能定理：
第一次钉入为x1=1cm ，第二次钉入为x2 。得

x1
0
kxdx
x2
第二次钉入x x2 x1 0 41cm
x1
x12 x22 x12 kxdx - 得x22 2x12即x2 2 x1 2 2 2
例4*、一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其 一部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动 摩擦系数为 ，令链条从静止开始运动，则：（1）到 链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？ （2）链条离开桌面时的速率是多少？
当E 0 时，Ek E p W内保
3、能量转化与守恒定律 量的方面：是指封闭系统物质运动的总能始终保持不 变，既不能增加（创造），也不能减少（消灭）。 质的方面： 是指各种形式的能量（机械能、热能、电 能、光能、化学能、核能等）可以互相转化。
做功与路径无关的另一种表述 (判断是否保守 ) 由于 F保 dr F保 dr F保 dr
曲线直线；变力恒力
dr
r
A

, r
F
B
F cos ds
B B A A
o
变力的功W dW F dr l F cosds
与路程有关！ 解析式： W

B
A
( Fx dx Fy dy Fz dz ) ——线积分
例1.作用在质点上的力为 求质点从 处运动到 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线 Y
4. 成对力的功
y
dA1 f12 d r1 dA2 f 21 dr2
r1 dr1 r2
m1
f 12
m f 21 2 dr2
dr1
dA dA1 dA2 f 21 (dr2 dr1 ) f 21 d r '
4、势能仅有相对意义， 两点间的势能差是绝对的，即
势能是质点间相对位置的单值函数。势能是状态量。
例3：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻 力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把 钉子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉 子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 分析：阻力作功= 钉子动能的增量，两次动能增量相同， ∴两次阻力作功相同。 解：以钉入方向为X轴，板面为原点。则有 f = -kx（k 为阻力系数）；