③ 由等效电路图有： iC(0+)=(12-8)/5=0.8A uL(0+)=12-4×2=4V i(0+)=iC(0+)+ iL(0+)=2.8A
+ -
R2 4 R3 R1 5 iL + i c + Us uL uc -
i(0+)
R1
5
iC(0+) 8V
R2 4 +
uL(0+)
iL(0+)=2A
duC 1 Us uC ( t ) dt RC RC
一阶常系数非齐次方程
duC 1 Us uC ( t ) dt RC RC
（2）解如上非齐次微分方程： 先求齐次通解uch，即相应齐次方程：
duc 1 uc (t ) 0 dt RC
显然：
的解
uch ( t ) Ae
ucp=Us
R2 4 + uL() -
等效电路图
一、一阶RC电路
1. RC电路的放电过程： 已知uC(0-)=U0，开关S在t=0时闭合， 分析t≥0时uC(t) 、 i(t)的变化规律。 ①参考方向如图， t≥0时，由KVL有： Ri(t)= uC(t)
duc i ( t ) C (非关联） dt
uC
一阶RC电路的电容电压uC(t)：
uC ( t ) Us (U 0 Us )e
V,t 0
全响应= 强制响应+ 固有（自由）响应 （即特解）+ （即齐次通解） 稳态响应 +

暂态响应
t RC
uC ( t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e
,t 0
具有惯性的电路元件
如果开关S闭合后， 三盏灯会发生什么情况？ 1号灯，马上会亮。 2号灯，逐渐变亮。 3号灯，闪亮一下，逐渐变暗。 L、C具有惯性，含有它们的电路存在过渡过程， 只含有一个L或C的电路，称为一阶电路。
S ＋ Us － 1 2 3 R L C
2.6.1 换路定理
一、换路及过渡过程的产生
2.6 一阶电路的瞬态分析
（暂态分析）
什么是过渡过程？
自然界中，物质的运动，在一定的条件下， 具有一定的稳定性。但如果外部条件发生变化， 这种稳定性就有可能被打破。 这样，就会使得物质从一种稳定状态转化到 另一种稳定状态。——这种转化的中间过程，称 为过渡过程，也称瞬态过程，或暂态过程。 物质之所以会有过渡过程，是因为物质具有 惯性。 同样的，电路中也有具有惯性的元件，因此 电路也存在过渡过程，即瞬态。
3
R1 +
电容视为开路，电感视为短路。 即 iC(0-)=0 , uL(0-)=0 故：iL(0-)=Us /（R2+R3)=12/（4+2）=2A uC(0-)=R2iL(0-)=4×2=8V
② 由换路定理有：
iL(0+)= iL(0-) =2A
uC(0+)= uC(0-) =8V
作t=0+时的等效图（图b）
-
K i 12V +
2 i( ) R1 5 ic()
(a) ④ t= 时作等效电路图c
此时电路重新达到直流稳态
电容视为开路，电感视为短路。 故 ic()=0 uL()=0
i ()=12/4=3A
-
12V
+
R2 4 R3 R1 5 iL + i c + Us uL uc -
Us (c)t=∞
-
解：① 求uC(0-)及 iL(0-)，t<0时 （直流稳态），故：
12V
Us
uc
-
R2 4 5 ic + iL uL -
+
(a)
K i 12V +
2 12V + -
Us
uC(0+)
(b) t=0+等效电路图
(a) 在t=0+等效电路图中:
电容元件用uC(0+)电压源代替 电感元件用iL(0+)电流源代替 电源取t=0+时Us(0+)
diL RL电路 如图 ， t 0时S闭合 。求： 1、i L (0 )、uL (0 )、 dt t 0 解： ① t<0时，即开关闭合前， 2、i L ()、uL ()。 i L( t ) 2 电路处于稳态，iL(0-) = 0A + +时，即开关闭合后， ② t=0 L=3H uL(t) 6V Us 由换路定理，得 S iL(0+) =iL(0-) = 0A (a) +时的等效电路图（图b) ③ t=0 + 2 iL(0 ) 所以，uL(0+)=6V 。 R + diL diL uL ( t ) + uL(0 ) ④ uL ( t ) L 6V Us dt dt L S
uc (t ) Ae
st
Ae
1 t RC

1 t RC
(t 0)
又有初始条件： uc(0+) = uc(0-) =U0

（换路定理）
uc ( t ) U 0e ( t 0) 1 t duc U0 RC i ( t ) C e ( t 0) dt R
i(t) + (a)
但电感电压uL可能突变。本例中 uL(0+) 不等于uL(0-) 同理，电容电压 uC不能突变，即uC(0+)= uC(0-) ， 但电容电流iC可能突变。
-
6V
+ Us
R
(c) t= ∞时等效图
例: 如图(a)，电路原处于稳态，K于t=0时刻闭合， K ①求初始值 iC(0+)、 uL(0+)及i(0+) 。 2 ②求稳态值iC(∞) 、 uL(∞)及 i(∞) 。 i R

1 t RC
再求特解ucp:
全解uc(t)=齐次通解uch(t)+任意特解ucp
uC ( t ) Ae

1 t RC
Us
uC ( t ) Ae
uC (0+)= uC

1 t RC
Us
Hale Waihona Puke ucUs Us/R 0 波形曲线
1 t RC )
（3） 由初始条件，确定系数
ic t
(0-)=0
S
uC(t) R
+ uR(t) U /R 0 0
U0
uc(t)
i(t) t
(b)
② 电容C的放电电压uC(t)和 放电电流i(t)波形，如图（b） ③ 时间常数=RC 量纲：时间量纲 秒 s ，衰减越慢 R→0，则 →0 极限情况: R→∞，则 → ∞
，衰减越快
④ 电路的固有频率（natural frequency） 1 1 它决定了电路的响应模式 S RC （衰减、发散、振荡） ⑤ 能量去向
直流一阶电路的三要素法
① 初始值y(0+) 三要素： ② 稳态值（终值）y(∞) L ③ 时间常数=RC或 R
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e , t 0
三要素法公式
→A= -Us
1 t RC
uC ( t ) Us Use
Us (1 e
1 t RC
V ,t 0
duC Us iC ( t ) C e dt R
强制响应
A, t 0
固有响应
（自由响应）
3.一阶RC电路的全响应
S + Us R C i+ 已知uC(0-)=U0，t=0时S闭合， uC 分析t≥0时，uC(t)=? -
Ri (t ) uC (t ) Us
duC i(t ) C dt
duC RC uC ( t ) Us dt duC 1 Us uC ( t ) dt RC RC
duC 1 Us uC ( t ) dt RC RC
解方程，得 uC ( t ) Ae
1 t RC
二、换路定理
电阻：纯耗能元件，无过渡过程。 （即时性元件）
电感与电容：储能元件，有过渡过程。 （动态元件） 电路的状态量（储能状态）：电容电压uC和电感电流iL。 这是两个在一阶电路的瞬态分析中，经常用到的变量。 通常设电路换路发生在t=0时刻，则： 换路前的状态 （原始状态），即t=0-时的状态 换路后的状态（初始状态），即t=0+时的状态 * 零状态电容，uC(0-)=0V；

三、初始值的计算
+
-
+ -
(b) 0+等效图

diL dt

t 0
uL (0 ) 6V 2A / s L 3H
④ t= ∞时（图c），电路重新达到稳态，电感L相当于短路线。 2 iL(∞) L K + uL(∞) iL(∞)=6/2=3A uL(∞)=0
注：电感电流 iL不能突变，即iL(0+)= iL(0-) ，
零状态电感，iL(0-)=0A。
换路定理:
① 在电容支路电流iC为有限值的情况下，换路瞬间， 电容电压uC保持不变。 ② 在电感支路电压uL为有限值的情况下，换路瞬间，
电感电流iL保持不变。
uC(0+)=uC(0-) 数学形式： iL(0+)=iL(0-)
实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能 不能突变。即电路的储能状态不能突变。
i(t) + (a)
S
uC(t) R
+ uR(t) -
RC
duc uc ( t ) dt