2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如 1, 2, 3,…，n ,….数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列｛a n ｝的一般形式通常记作a i , a 2, a 3,…,a n 或a i , a 2, a 3,…,a n …。

其中a i 叫做数 列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示｛a n ｝的前n 项和，则S l =a i ,当n>1时，a n =S n -S n-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数 n ,都有a n+1-a n =d (常数)，则｛a n ｝称为等差数列， d 叫做公差。

若三个数a, b, c 成等差数列，即2b=a+c ,则称b 为a 和c 的等差中项，若公差 为 d,贝U a=b-d, c=b+d.定理2等差数列的性质：1)通项公式a n =a 1+(n-1)d ； 2)前n 项和公式：S n =n(a 1 竝 二 吃 ; 3) a n -a m =(n-m)d ，其中 n, m 为正整数；4)若 n+m=p+ q ,贝U 2 2a n +a m =a p +a q ； 5)对任意正整数p, q ,恒有a p -a q =(p-q)(a 2-a 1); 6)若A , B 至少有一个不为零， 则｛a n ｝是等差数列的充要条件是 Sn=A n 2+B n.定理3等比数列的性质：1) a n =a 1q n-1; 2)前n 项和S n ,当q"时，0=內(17);当q=11- q时，S n = na 1； 3)如果a, b, c 成等比数列，即b 2=ac(b = 0),则b 叫做a, c 的等比中项；4)若 m+n=p+q ,贝U a m a n =a p a q 。

定义4极限，给定数列｛a n ｝和实数A ,若对任意的；>0,存在M ，对任意的n>M( n € N ),都 有|a n -A|< ；，则称A 为n —+x 时数列｛a n ｝的极限，记作lim a n 二AA —JpQ定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛a n ｝的公比q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列， 其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为 旦(由极限的定义可得)。

1-q定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)时n=k 成立时能 推出p(n)对n=k+1成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然数n 》n o 成立。

竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)对一切n W k 的 自然数n 都成立时(k >n o )可推出p(k+1)成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然 数n 》n o 成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列X n =ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x 2=ax+b 的两个根为a ,B ：(1)若a = B ，贝U X n =C 1a n-1+C 2 B n-1，其中C 1, G 2由初始条件X 1, x 2的值确定；⑵若a = B ，则 x n =(ci n+C 2)a n-1，其中C 1, c 2的值由X 1, X 2的值确定。

二、方法与例题1 •不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探 索未知世界的普遍方式。

通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1) o , 3, 8, 15, 24, 35,…；2) 1, 5, 19, 65,…；3) -1 , o , 3, 8, 15,…。

【解】1) a n =n 2-1 ； 2) a n =3n -2n ； 3) a n =n 2-2n.定义3等比数列，若对任意的正整数n ,都有空=q ，则｛an ｝称为等比数列, q 叫做公比a n例2 已知数列｛a n｝满足a i = ^,a i+a2+…+a n=n2a n, n》1,求通项a n.21 2【解】因为a i=，又a i +a2=2 • a2,2所以a2= — , a3= --r-a2-，猜想a n - (n》1).3x2 32-1 3x4 n(n+1)证明；1)当n=1时，&1=丄，猜想正确。

2)假设当n W k时猜想成立。

2"当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] a k+1,,1 1 1所以=k(k+2)a k+1,2 疋13 汉2 k 汉(k+1)即1_丄J—1…•丄l=k(k+2)a k+1,2 23 k k +1k 1所以--- =k(k+2)a k+1,所以a k+1= - .k+1 (k+1)(k+2)由数学归纳法可得猜想成立，所以a n 1.n(n +1)1对任意n€ N+,有a n>1.例 3 设0<a<1，数列｛a n｝满足a n=1+a, a n-1=a+一，求证:a n【证明】证明更强的结论：1<a n< 1+a.1) 当n=1时，1<a1=1+a，①式成立；2) 假设n=k时，①式成立，即1<a n< 1+a，则当n=k+1时，有, 1 1 1+a+a2 1+a ,1a a k 1 a a 1.a k1+a 1+a 1+a由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2 .迭代法。

数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n€ N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列｛a n｝满足a n+pa n-1+qa n-2=0, n>3，q = 0，求证：存在常数c，使得2 2 na n 1 pa n 1 • a n+qa n cq =0.【证明】a n 1 ' pa n 1 • a n+1 +qa* 1 = a* 2 (pa n+1+a n+2)+qa n ・1 =a n+2 • (_qa n)+qa* 1 = q(a21 -a n a n 2) = q[a：1+a n(pq n+1+qa n)]=q(a： 1 pa n 仙qa f).若a； ' pa?a1 •qa；=0，则对任意n, a：「pa“ 何+qa；=0，取c=0 即可.若a； ' pa2a * qa； =0，则｛a；1 • pa n^a n + qa；｝是首项为a； ' pa?a1 • qa；，公式为q 的等比数列。

所以a；」pa n 1a n+qa2 = (a| pa?a1 qa；) • q n.1取 c = _(a； ' pa1 a2 ' qa；) • 即可.q综上，结论成立。

例 5 已知a1=0, a n+1=5a n^..24a；1，求证：a n都是整数，n€ N+.【证明】因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n》1时a n+1>a n.1 1 1又由a n+i =5a n + . 24a 1 2 1移项、平方得a n 1 -10a n 3n 1 B n ~^0.①当n 》2时，把①式中的n 换成n-1得a ； -10a n 3nj • a ；」-1 = 0，即2 2an 1■ 10a n a n 1 a n - 1 二 0・ ②因为a n-1<a n+1，所以①式和②式说明a n-1, a n+1是方程x 2-10a n x+a 2-1=0的两个不等根。

由韦达 定理得 a n+1+ a n-1=10a n (n > 2).再由a 1=0, a 2=1及③式可知，当n € N +时，a n 都是整数。

3. 数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

1 例 6 已知 a n =- 而(n=1,2,…)，求 S 99=a 1+a 2+ …+a 99.4 +22 2100 4n • 410°』 1 1 1 _+ =4- . 21004100 -n . 2100 4100 2 - 2100 (4- . 4100』)2100 ?——A 弧。

2? 2’ 24 25 2n 1一 2 七 一(n 十1)(n +2) 一4 2(n 1)(n 2)例8 已知数列｛a n ｝满足a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n , S n 为数列」< > 的前n 项和，求证：S n <2【证明］由递推公式可知，数列 1 丄 Z A A 2 22 23 24 25 因为Sh = ｛a n ｝前几项为1， .8亠.亠an26 2n ，1, 12 J 2， 3， 5， 8，13。

2 2100 - 4n • 4100』 【解］因为a n +a 100-n = 1 99所以 S 99= (a n2 n £例7求和：S n ［解］ 般地,a、 1 v 99 99'a100 -n ) 硕. 而.2 2 21 1: ----- + --------- ….+—1 2 32 3 4 n(n 1)( n 2)1 k2 -kk(k 1)(k 2)1 、12 (k(k +1) (k +1)(k +2)丿 1n所以S n 八心 k(k +1)(k+2) 1 1 1.1丄2 ||1 22 3 2 3 3 4丄1 1 〕n(n +1) _ (n +1)(n+2)_由①-②得詁亦丄 22 a a n ，1 1 1 a n所以一S nS n _2 nr。

22 42又因为S n-2<S n 且品>0, 所以Q J 」&,所以^S n2244所以S n <2，得证。

4. 特征方程法。

例 9 已知数列｛a n ｝满足 a 1=3, a 2=6, a n+2=4n+1-4a n ，求 a n . ［解］ 由特征方程x 2=4x-4得X 1=X 2=2.‘3 = o + P6 = (。

+20)X 2，5 •构造等差或等比数列。

例 11 正数列 a o ,a 1,…,a n ,…满足-a n a n ^ - ■. a n d a n ^ =2a n-1(n > 2)且 a o =a 1=1，求通项。

— +1 ,则｛b n ｝是首项为；丄+仁2,公比为an 4: a o+1an1 = 2a n 4所以b n = n +1=2 , 所以 a 2 所以a n =^ •也a n 4 an -2n 注：I 丨 C i 二C 1 ・ C 2 .......... i ±电=(2n -1) 2, a n 4a 1C n . n k 2 -a o =i 【(2 -1). k 珀 例12 已知数列｛X n ｝满足X 1=2, X n+1 =［解］考虑函数f(x)=2x的不动点，由 x 2 2 』-,n € N +,2x nx 22 求通项。