(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x ＋y －5＝0与y ＝2的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.π4D.π3解析：两直线的斜率分别为－3和0，则夹角的正切值为|－3－01＋0|＝3，故夹角为π3.答案：D2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833解析：由l 1∥l 2，知1a －2＝a 3≠62a，求得a ＝－1， ∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823. 答案：B3．(2011·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±5xB ．y ＝±55xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x解析：∵y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)， ∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2.又虚半轴b ＝1，且a >0， ∴a ＝22－12＝3，∴双曲线渐近线的方程是y ＝±33x .答案：D4．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案：B5．(2011·东莞实验中学)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 1＝1＋b 2a2， 椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1的离心率e 2＝1－b 2m2，则1＋b 2a2· 1－b 2m2＝1，即m 2＝a 2＋b 2. 答案：B6．(2011·河南模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O 为坐标原点)等于( ) A ．－7 B ．－14 C ．7D ．14解析：记OM 、ON 的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos2θ＝－7.答案：A7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在双曲线上，且AF 2⊥x 轴，若|AF 1||AF 2|＝53，则双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析： 如图，设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n .由双曲线定义可知m －n ＝2a .① 又∵AF 2⊥x 轴， ∴(2c )2＋n 2＝m 2.② 又已知m n ＝53，③由①③得，m ＝5a ，n ＝3a ，代入②得c ＝2a ，e ＝2. 答案：A8．(2011·顺德模拟)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．3 5解析：圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.答案：C9．(2011·镇江模拟)若集合A ＝{(x ，y )|y ＝1＋4－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝k (x －2)＋4}．当集合A ∩B 有4个子集时，实数k 的取值范围是( )A ．[512，＋∞)B ．(512，34]C ．[512，34]D ．(13，34]解析：A ∩B 有四个子集，故A ∩B 有2个元素，即直线与上半圆有两个交点，易求相切时k ＝512，又直线过上半圆的左端点时k ＝34，数形结合知512<k ≤34.答案：B10．(2011·滨州模拟)已知圆的方程x 2＋y 2＝4，若抛物线过定点A (0,1)、B (0，－1)，且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1(y ≠0)B.x 24＋y 23＝1(y ≠0) C.x 23＋y 24＝1(x ≠0)D.x 24＋y 23＝1(x ≠0) 解析：过点A ，B ，O (O 为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A 1，B 1，O 1，设抛物线的焦点F (x ，y )，则|FA |＝|AA 1|，|FB |＝|BB 1|， ∴|FA |＋|FB |＝|AA 1|＋|BB 1|. ∵O 为AB 的中点， ∴|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4.∴|FA |＋|FB |＝4，故点F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其方程为x 23＋y 24＝1，又F 点不能在y 轴上，故所求轨迹方程为 x 23＋y 24＝1(x ≠0)． 答案：C11．(2011·新课标全国卷)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.答案：C12．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：如图，延长F 1P ，F 2Q 相交于点M ， 则|MP |＝|PF 2| 由椭圆的定义得 |MF 1|＝|MP |＋|PF 1| ＝|PF 2|＋|PF 1|＝4，连接OQ ，则|OQ |＝12|MF 1|＝2，则Q 的轨迹是圆．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，则M 到抛物线焦点的距离是________． 解析：因为点M 的横坐标是2，所以点M 的纵坐标是8. 又p 2＝18，所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝658. 答案：65814．(2011·揭阳模拟)已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆上，则圆C 的圆心坐标为________，半径为________．解析：由点P (2,1)在圆上得2a ＋b ＝－3， 点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上， 知直线过圆心(－a 2，1)，即－a2＋1－1＝0.∴a ＝0，b ＝－3.∴圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2. 答案：(0,1) 215．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72，若△F 1MF 2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由题意，得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x . 答案：y ＝±7x16．设x ，y ，z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，0≤x ≤1，0≤y ≤2，3x ＋z ≥2，则t ＝3x ＋6y ＋4z 的最大值为________．解析：∵z ＝1－x －y ，∴约束条件变为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2x －y ≥1，作出可行域如图，目标函数t ＝3x ＋6y ＋4z ＝－x ＋2y ＋4的几何意义与斜率为12的直线的纵截距有关，由图可知过点A (1,1)时取得最大值为5. 答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上(如图)．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.18．(本小题满分12分)已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证A ，B 两点不关于原点O 对称． 解：(1)由椭圆定义知2a ＝4，∴a ＝2，∴x 24＋y 2b 2＝1.把(1,1)代入得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，故椭圆方程为x 24＋y 243＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263，故两焦点坐标为(－263，0)，(263，0)． (2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，∴|AM |＞|AB |. 从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以假设不成立，原命题成立． 19．(本小题满分12分)(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3. 则以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.20．(本小题满分12分)如图所示，已知定点A (－2,0)，动点B 是圆F ：(x －2)2＋y 2＝64(F 为圆心)上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交P 点的轨迹于点R ，T ，且满足OR ·OT ＝167(O 为原点)？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，得|PA |＝|PB |且|PB |＋|PF |＝r ＝8.故|PA |＋|PF |＝8>|AF |＝4， ∴P 点的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则由题意，得2a ＝8，a ＝4，a 2－b 2＝c 2＝4， ∴b 2＝12.∴P 点轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在满足题意的直线l .易知当直线的斜率不存在时，OR ·OT <0，不满足题意．故设直线l 的斜率为k ，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线l ：y ＝kx －4.∵OR ·OT ＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0. 由Δ>0，得(－32k )2－4(3＋4k 2)·16>0， 解得k 2>14.①∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1·x 2＝163＋4k 2. ∴y 1·y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167. 解得k 2＝1.②由①②，解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4. 故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意．21．(本小题满分12分)(2011·杭州模拟)已知直线(1＋3m )x －(3－2m )y －(1＋3m )＝0(m ∈R)所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若125≤|FA |·|FB |≤187，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由(1＋3m )x －(3－2m )y －(1＋3m )＝0， 得(x －3y －1)＋m (3x ＋2y －3)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －1＝0，3x ＋2y －3＝0，解得F (1,0)． 设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1.从而椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过F 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因点F 在椭圆内，即必有Δ>0，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，所以|FA |·|FB |＝(1＋k 2)|(x 1－1)(x 2－1)| ＝(1＋k 2)|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝9(1＋k 2)3＋4k 2.由125≤9(1＋k 2)3＋4k2≤187，得1≤k 2≤3， 解得－3≤k ≤－1或1≤k ≤3，所以直线l 的斜率的取值范围为[－3，－1]∪[1，3]．22．(本小题满分12分)(2011·新余模拟)在△PAB 中，已知A (－6，0)、B (6，0)，动点P 满足|PA |＝|PB |＋4.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设M (－2,0)，N (2,0)，过点N 作直线l 垂直于AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN ⊥QT ；(3)在(2)的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求OP ·OR 的值． 解：(1)∵|PA |－|PB |＝4<|AB |，∴动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支除去其与x 轴的交点． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，得⎩⎨⎧ c ＝6，2a ＝4，解得⎩⎨⎧c ＝6，a ＝2.∴b ＝ 2.∴动点P 的轨迹方程为x 24－y 22＝1(x >2)．(2)由题意，直线MP 的斜率存在且不为0，设MP 的方程为y ＝k (x ＋2)．∵点Q 是l 与直线MP 的交点，直线l 的方程为x ＝2. ∴Q (2,4k )．设P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 22＝1，y ＝k (x ＋2)，整理得(1－2k 2)x 2－8k 2x －(8k 2＋4)＝0.则此方程必有两个不等实根x 1＝－2，x 2＝x 0>2， ∴1－2k 2≠0，且－2x 0＝－8k 2＋41－2k 2.∴y 0＝k (x 0＋2)＝4k1－2k 2. 则P (4k 2＋21－2k 2，4k 1－2k 2)．设T (t,0)，要使得PN ⊥QT ，只需PN ·QT ＝0. 由N (2,0)，PN ＝(－8k 21－2k 2，－4k 1－2k 2)， QT ＝(t －2，－4k )，∴PN ·QT ＝－11－2k2[8k 2(t －2)－16k 2]＝0. ∵k ≠0，∴t ＝4，此时PN ≠0，QT ≠0. ∴所求T 的坐标为(4,0)． (3)由(2)知R (2，－4k )， ∴OP ＝(4k 2＋21－2k 2，4k1－2k 2)， OR ＝(2，－4k )．OP ·OR ＝4k 2＋21－2k 2×2＋4k 1－2k 2×(－4k )＝4－8k 21－2k 2＝4. ∴OP ·OR ＝4.。