第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度
a liv m v v tt l iv m nv n l tla ti i m 0 m 0 t d d v v v t0 ttn t tav d d tre 2 v tt e e t n ta 0 n a a e ntn te e nt
B
ran at
o
a vB
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aa 与 法向a之t2 间a 夹n 2角1 为0 m s9 2
arctaatn12.4
an
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已知： vA19k4m h0 1vB21k9m h2 1
（2）在时t间3ts内矢径A r所B 转3.5过k的m 角度 为
a a x
0, π 2π, v减小
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➢ 对于一般的曲线运动
vddstet addvt et v2en
其中
ds
d
曲率半径 .
利用自然坐标, 一切运动可以
an
根据切向、法向加速度来分类：
a
at
an= 0 at= 0
an= 0 at 0 an 0 at = 0 an 0 at 0
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平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
运径动r ，与某时x刻轴它之位间于的点夹A 角.矢
为 . 于是质点在点 A 的位
置可由 A(r,)来确定 .
y
A
r
o
x
以 (r
x r cos y r sin
d
dt
atddvtr
➢ 若 = 常量，t = 0 时， ＝ 0， ＝ 0 ,可求
匀变角加速圆周运动公式.
＝ 0＋ t
00t12t2
20 22(0)
注意：仅 适用于角加速 度为恒量情况.
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例2 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率
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一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t )
角速度 (t) d(t)
dt
速v 率 lt i0 m s t r lt i0 m t
vd d s t v(t)r(t)
角加速度 d
dt
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y
B
r A
o
x
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为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率
为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB的半径
约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变
速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求 (1) 飞机
在点 B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 .
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二 匀速率圆周运动
加v速vv 度大d d 小rstre at v lei vttm v vrre rtvt2
vB
oren rvetA
a t d dv t 0 , v r2e n t 0 0, 2 rtv e n rv 法位向矢单量 vB v vA
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匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动
a与 at的夹角
tan an
at
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讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的：
（A）切向加速度必不为零；
（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
v2
en
et
v1
o r
v2vt v vv1n
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切向加速度（速度大小变化引起）
atd dv trd d2 t2 s
法向加速度（速度方向变化引起）
v2
en
et
v1
an
v2rv2
r
o r
➢
圆周运动加速度
a a ddvtt e et t a vrn 2e en n v2vt
At
1t2
2
A
vA
飞机经过的路程为
B
ran at
srvAt1 2att2
o
a
vB
代入数据得
s17m 22
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dt
（2）
at
dv dt
b
dt
2
an
v2 r
(bt)2 r
（3） a tan (a t2 aata n 2)(1b2 r2 2 t4b (1 b)r2 2 t1421)12
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四 角加速度 匀变角加速圆周运动公式
➢ 角加速度 ➢ 切向加速度
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例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿
圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设
b 为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率;
（2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度.
解：（1） vdsd(1b2t)bt
A
vA
ran
B
at
o
a vB
解（1）因飞机作匀变速率
运动所以 a t 和 为常量 .
at
dv dt
分离变量有
vB dv
vA
t
0atdt
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已知：vA19k4m h0 1vB21k9m h2 1
t3s AB 3.5km
Av在vAB点dvBv的A0法ta向td加t 速度在at点aBvnB 的 t加vv r速B 2A度120.3 m 6m ss 22
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
a （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作
匀变速率运动 .
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讨论
例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
（1） d v dt
（3） d v v 2 dt R
（2） v 2 R
（4） (dv)2 (v2)2 dt R
v vv1n
a at2an 2
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a a te t a n e n a与 et 夹角 ta n1aant
➢
a
a n 0 0 π
切向加速度
y
atddvt r
a
0 , 0π 2, v增大
o
t 0, π 2, v常量
v
en et