东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,23821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-=⋅>=<nm n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

12 分 xyz20.（1）有已知：2c =，2b a=24a b ∴==故椭圆方程为22184x y += 4 分(2)当AB斜率不存在时：122AOB S ∆=⨯= 6 分 当AB 斜率存在时:设其方程为：()2y k x k ⎛=-≠⎝由222)2=8y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+⎪⎩得()))22221422280k x k kx k++-+-=由已知：)())222216282124kk k k⎡⎤∆=--+-⎢⎥⎣⎦(2820k =+>即：k ≠AB = 8 分O 到直线AB的距离：d 12422212+-==∴∆k d AB S ABC 10 分 22212k k ≠±+≠ [)()2211,22,k ∴+∈+∞)()2422,00,221k ∴-∈-⎡⎣+∴此时 ]22,0(∈∆AOB S综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时：0A B ∆面积取最大值为12分21.解(1)由已知:/()ln 12(0)f x x axx =++> ,切点(1,)P a 1 分切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = 3 分(2)(Ⅰ)依题意:/()0f x = 有两个不等实根1212,()x x x x <设()ln 21g x x ax =++ 则:/1()2(0)g x a x x=+> ①当0a ≥ 时: /()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; 5 分 ②当0a < 时:由/()0g x =得:102x a =-> 列表如下:x 1(0,)2a -12a- 1(,)2a-+∞ /()g x +0 -()g x↗ 极大值↘依题意:11()ln()022g a a -=-> ,解得:102a -<< 综上所求: 102a -<<得证; 8 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/(),()f x f x 变化如下:x 1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,)x +∞/()f x -0 + 0 -()f x↘↗↘由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,所以:21()()f x f x > 10 分 又/(1)(1)210f g a ==+> , 故1(0,1)x ∈由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=,2111111111()ln (x ln )(01)2f x x x ax x x x =+==-<< 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则/1()ln 02h x x =< 成立,所以()h x 单调递减,故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11()2f x >-综上所证: 211()()2f x f x >>-成立. 12 分 22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 21//=，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 3 分 在EOD ∆和BOD ∆中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，∴EOD ∆≌BOD ∆，∴ 90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5 分（Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. 7 分∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ 10 分23.选修4-4: 坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3 分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ， ∴直线的普通方程为03=--m y x . 5 分FC D MOBE A（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， 8 分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得 1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ， 因此实数m 的值为或21+或21-. 10 分24.选修4-5: 不等式选讲解：（Ⅰ）当2-<x 时，3221|2||12|)(+-=++-=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即03>+-x ，解得3<x ，又2-<x ，∴2-<x ； 当212≤≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-<x ，又212≤≤-x ，∴312-<≤-x ； 当21>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又21>x ，∴3>x . 3 分 综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- . 5 分 （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f . 8 分∵R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，∴25)(24min 2-=>-x f m m ， 整理得：05842<--m m ，解得：2521<<-m ， 因此m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,21. 10 分。