0.25
1.5
1.5
1
左上角二维小波变换
4.85 1.85 1.5 0.25
3.75 0.75
1
1.5
0.5 1.25 0 1.5
1.5 0.5
1
1
一看就懂的小波变换
1.1 一维小波变换（一维多尺度分析）
设有L2(R )空间的子空间序列：
V0V1V2
Vj 的正交基函数是由一个称为尺度函数的函数(x)经伸缩平移得到的
k jx 2jx k
设Wj 是Vj 相对于Vj+1的正交补空间，
(t) (2 t) (2 t 1 )
Wj 的正交基函数是由一个称为小波函数的函数(x)经伸缩平移得到的
k jx 2 jx k
一看就懂的小波变换
kjx,kjx构成Vj+1的正交基。
x和 x满足下列关系式(二尺度方程)：
定义：
j,k(t)(2jtk)
k0,1,,2j 1
可得： 0,0 (t)
一看就懂的小波变换
1,0
(2t)
1 0
0t1/2
其它
1,1
(2t
1)
1 0
1/2t1
其它
f( t ) x 1 2 ,0 ( t ) x 2 2 , 1 ( t ) x 3 2 ,2 ( t ) x 4 2 ,3 ( t )
细节
d(x1-x2)/2
• 则一维信号可以表示成{a，d},且原信号可以恢复如下：
x1 ad
x2 a-d
• 当x1与x2非常接近时，一维信号{x1，x2}可近似的用{a}表示， 可实现信号压缩。 a可以看成信号的整体信息 d可看成原信号用a表示时丢失的细节信息
一看就懂的小波变换
平均与细节
• 对多元素信号{x1，x2，x3，x4}
a 0 ,0(x1x2x3x4)/4
一看就懂的小波变换
平均与细节
• {x1，x2，x3，x4}－最高分辨率信息 • {a1,0,a1,1}－次高分辨率低频信息 • {d1,0,d1,1}－次高分辨率细节信息 • {a0,0}－最低分辨率低频信息 • {d0,0}－最低分辨率细节信息
{x1，x2，x3，x4}的小波变换{a0,0,d0,0,d1,0,d1,1}由整体平均和两个不同分 辨率的细节信息构成
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2 0
-0. 2 -0. 4 -0. 6
1/2Ψ（2t-t0）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6Biblioteka 0. 4 0. 20 -0. 2
2/3Ψ（4t-t1）
-0. 4
-0. 6
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
一看就懂的小波变换
像Ψ(t)这样，有限长且均值为0的函数称为小波函数。 常用的小波函数如下图：
平移
X [1 /4 ,1 /2 )(t)X [0 ,1 /4 )(t 1 /4 )
X [1 /2 ,3 /4 )(t)X [0 ,1 /4 )(t 1 /2 ) X [3/4 ,1 )(t)X [0 ,1 /4 )(t 3 /4 )
伸缩
一看就懂的小波变换
X[0,1/4)(t)X[0,1)(22t)
引入记号： (t)X[0,1)(t)
一看就懂的小波变换
小波函数必须满足以下两个条件的函数： (1) 小波必须是振荡的； (2) 小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。如：
图1 小波例1
图2 小波例2
一看就懂的小波变换
不是小波的例子 图3 图一4 看就懂的小波变换
平均与细节
• 设一维信号{x1，x2}
平均
a(x1 x2)/2
傅立叶变换：
Of Mlo2gM
小波变换：
O M w一看就懂的小波变换
设有信号f(t):
其傅里叶变换为 F(jΩ):
即：
f(t)21
F(j)ejtd
一看就懂的小波变换
=
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4
Ψ（t）
-0. 6
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
信号序列{x1，x2，x3，x4}看成单位区间上的一个函数
f ( t ) x 1 X [ 0 , 1 / 4 ) ( t ) x 2 X [ 1 / 4 , 1 / 2 ) ( t ) x 3 X [ 1 / 2 , 3 / 4 ) ( t ) x 4 X [ 3 / 4 , 1 ) ( t )
1. 小波变换
➢ 小波变换既有频率分析的性质，又能表示发生 的时间，有利于分析确定时间发生的现象，傅立 叶变换只具有频率分析的性质。 ➢小波变换的多分辨率的变换，有利于各分辨度不 同特征的提取（图像压缩、边缘抽取、噪声过 滤）。 ➢ 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。 ➢小波变换速度比傅立叶快一个数量级，长度为M 的信号，计算复杂度：
一看就懂的小波变换
• 4×4图像的二维Harr小波变换
1
4
6
5
2 5 7 9
3 3 1 6
4
8
2
3
1.5
行小波变换 4.5
6.5
7
3.5 5.5 1.5 4.5
0.5 0.5 0.5 2
0.5
0.5 列小波变换
0.5
1.5
3
4.5
0.5
1.5
6.75 3
1.25 0.5
1.5 1 0 1
一看就懂的小波变换
金字塔算法
{1.5}：最低分辨率低频信息 {0.5}：最低分辨率细节信息 {2,1}：次高分辨率低频信息 {1,-3}：次高分辨率细节信息 {3,1,-2,4}：最高分辨率信息
一维信号{3,1,-2,4}的小波变换为{1.5,0.5,1,-3}
一看就懂的小波变换
尺度函数与小波函数
函数可以由一个尺一度看就函懂数的小的波伸变换缩与平移的线性组合表示
同理，对小波变换
1
(t)X[0,1/2)(t)X[1/2,1)(t)1
0
伸缩和平移
0t1/2
1/2t1
其它
一看就懂的小波变换
序列的多分辨率表示：
f ( t ) a 0 , 0 0 , 0 ( t ) d 0 , 0 0 , 0 ( t ) d 1 , 0 1 , 0 ( t ) d 1 , 1 1 , 1 ( t )
a1,0(x1x2)/2 a1,1(x3x4)/2
d1,0 (x1 x2)/2
d1,1(x3x4)/2
信号可以表示为：{a1,0,a1,1,d1,0,d1,1} 丢失细节信号压缩为： {a1,0,a1,1}
a0,0(a1,0a1,1)/2 d0,0(a1,0a1,1)/2
信号可进一步表示为：{a0,0, d0,0} 丢失细节信号压缩为： {a0,0}