久期（Duration ），也叫持续期。
一、概述
1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。
2．权重的概念：Wt ：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。
Wt=
P
CFt PV ）
（，PV 现值，CFt （cash flow ）
3．久期表达式：
∑=⨯n
t Wt t 1
=
P
CFt PV t n
t ∑=⨯1
)(=
P
r t
CFt t n
t ∑=+⨯
1
)1(=D
4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
证明：∵P=
∑=+n
t t
r CFt
1
)1( （1）
对（1）式相对于t 求一阶导数可得dr dP = —∑=++⨯n
t r t CFt
t 1)
1(1 （2）
将（2）两边同除以价格P ，得：
dr dP ×P
1
= )1()1(1
r P r t
CFt
t
n
t ++-∑== —r
D +1，同时可得：
P dP = —D r
dr
+1 假定收益率曲线平滑，r 在中短期内变化微小。
P P ∆= —D ×（r
r +∆1） （3） ∴D 是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。
5．修正久期的概念： 定义修正久期为D*=
r
D +1 △P= —D*×P ×△r (4) 二、基于久期的套期保值策略 1、套期保值比率HR 的确定 套期保值所需合约数（张）=
期货面值
现货面值
×到期日调整系数×加权系数
到期日调整系数=
数
期货合约标的物到期天日天数
现货套期保值标的到期
举例
加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数
1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。
原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。
缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。
（2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF 作系数不实用。
2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。
缺点：（1）新发行债券没有历史数据
（2）衍生债券也没有历史数据。
久期值模型：
△Ps= —Ds *
×Ps ×△r (1)
△Pf= —Df *
×Pf ×△r (2) △Ps= △Pf ×HR (3) 将（1）、（2）代入（3）式得：
—Ds *×Ps ×△r= —Df *
×Pf ×△r ×HR HR=
f
f P D Ps
Ds ⨯⨯**
举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？
已知：Ds * =9.8年，Df *
=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16 HR=
5
.6264.105
.1188.9⨯⨯=1.18， 卖出期货合约数量=万万101500×1.18=177张
三、久期值的计算
1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay ）1938年，D *
=r
D
+1 （见书P119） 2、封闭式久期计算法
D 麦=P
r n n F r n r rn
r r n C )1()
1(2)1()1(1+•+
+-+-++⨯
C 为年利率，F 为面值，r 为到期收益率，n 为债券剩余期限付息次数，P 债券价格
举例：见书 表4.5
已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）
D 麦=
213
.9406.16
610006.1606.02606.006.1)06.01(5⨯+
⨯⨯--+⨯T =5.32（半年）
D 1年麦＝
2
32
.5＝2.66年
3、有效久期计算法 （1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi ） （2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑) （3）、计算公式 D 有效＝
)
(_0_R R P P P --++
P_ 指收益率下降x 个基点债券价格 P + 指收益率上升x 个基点时债券价格 R_ 指初始收益率减去x 个基本点 R + 指初始收益率加上x 个基本点 P 0 指债券初始价格
举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P +＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P －＝90.25 D 有效＝
)(_0_R R P P P --++＝)
1139.01149.0(9077
.8925.90--＝5.33
用封闭公式计算D 麦来验证。
已知：C ＝95／2＝47.5；F ＝1000；P ＝900；R ＝11.44％；r=5.72%；N ＝8×2＝16
D 麦＝900
4351.21610000572.1160572.02160572.10572.10572.1175.47⨯+
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯--⨯＝11.28年
D 麦1年＝11.28／2＝5.644 D ＊
＝
0572
.1644
.5＝5.33
4、简便的久期计算公式D 麦 D 麦＝
r r +1－[]
r
r s c r c s r +-+-++1)1()
()1(
r ＝半年到期收益率；S ＝剩余年限付息次数；C ＝半年息票利率
将上例数据代入公式验证， D 麦半年＝
0572.00572.1－[]
0572
.010572.1160475.0)
0572.00475.0(160572.1+--+＝18.48－7.20＝11.28
D 麦1年＝11.28／2＝5.64
5、影响久期的因素 （1）、久期值与债券期限长度成正比； （2）、久期值与息票额成反比；（通过公式可以看出） （3）、久期值与到期收益率成反比； （4）、零息债券的久期为距到期日的时间，而附息债券的久期短于距到期日的时间。
6、久期的应用 （1）、久期是考察债券价格对利率变动敏感性的指标，是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。
（2）、预测利率下跌，买入较长久期的债券，因为较长的久期的债券比较短久期的债券上涨幅度大。
（原因是期限越长的债券对利率变动越敏感，期限越短，炒作空间越小，到期价格向价值回归） （3）、预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格下跌较少。
（因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间） （4）、1个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值。
7、美元久期
D 美元＝－D ＊
×（以债券面值百分比表示的债券价格） 举例：D ＊
＝5.33，债券价格P ＝900，F ＝1000，
1000
900
＝90％ D 美元＝－5.33×90＝－479.70
P 新＝P 旧＋（D 美元×收益率变动）
P 新＝90＋（－479.70×0.0005）＝90－0.23985＝89.76
第四节 远期利率协议交易的计算
举例：已知：某公司计划3个月后在欧洲美元市场筹资3个月期资金1.25亿美元，担心届时LIBOR 上涨，决定通过远期利率协议保值。
目前路透终端FRA 报价LIBOR(3×6)为4.55%/4.75%。
求：①3个月后3个月期LIBOR 为5.25％，该公司借款成本为多少？ ②3个月后3个月期LIBOR 为4.05％，该公司借款成本为多少？ 解：
SA1
[]B D ir B
D ic ir A ⨯
+⨯-=
1＝
[]12
325.5112
375.425.525.1⨯⨯
％＋％％－亿＝15.625万／1.013125＝15.42万
SA2＝
[]B
D ir B
D ic ir A ⨯
+⨯-=
1＝
[]12
305.4112
375.405.425.1⨯
⨯
％＋％％－亿＝－21.875万／1.010125＝
－21.656万
答：在①情况下FRA 银行3个月后向该公司支付15.42万元，其资金成本仍为4.75％。
在②情况下，该公司向FRA 银行支付21.656万，其资金成本仍为4.75％。
. .。