1.设n S 为等比数列{n a }的前n 项和2580a a ,+=,则52
S S 等于( ) A.-11
B.-8
C.5
D.11
答案:A 解析:由2580a a +=,∴582
a a =-,即382q q =-,=-. ∴5(1)151153311223(1)1211a q S q q S a q q
q
---====-----. 2.在等比数列{n a }中11a ,=,公比|q|1≠.若12345m a a a a a a =,则m 等于( )
A.9
B.10
C.11
D.12
答案:C
解析:51010123451111m a a a a a a a q a q a ====. 3.在公比为整数的等比数列{n a }中,如果1418a a +=,
2a 312a +=,那么该数列的前8项和为( )
A.513
B.512
C.510
D.2258
答案:C 解析:3211313(1)18()1222q a q a q q q q ++=,+=,=,+12
或q=2,而q ∈Z , ∴122q a =,=. ∴9882(12)2251012
S -==-=-. 4.在正项等比数列{n a }中153537225a a a a a a ,++=,则35a a += .
答案:5
解析:2223355353()2()()25a a a a a a a ++=+=,+5a =5.
5.等比数列{n a }的前n 项和为21n -,则数列{2
n a }的前n 项和n T = . 答案:413
n - 解析:∵21n n S =-,当2n ≥时1121n n S --,=-,
∴12n n a -=,
∴214n n a -=,
∴2114a q =,=. ∴1441143
n n n T --==-. 6.等比数列{n a }中,已知14216a a =,=.
(1)求数列{n a }的通项公式;
(2)若35a a ,分别为等差数列{n b }的第3项和第5项,试求数列{n b }的通项公式及前n 项和n S . 解:(1)设{n a }的公比为q,由已知得3
162q =,解得q=2.
所以1222n n
n a -=⋅=.
(2)由(1)得35832a a =,=,则35832b b =,=.
设{n b }的公差为d,则有 1128432b d b d +=,
⎧⎨+=⎩
解得 11612b d =-,
⎧⎨=.⎩
从而1612(n b n =-+-1)=12n-28.
所以数列{n b }的前n 项和2(16
1228)
6222n n n S n n -+-==-.
题组一 等比数列的基本量计算
1.已知等比数列{n a }满足122336a a a a +=,+=,则7a 等于( )
A.64
B.81
C.128
D.243
答案:A
解析:23212
a a q a a +==,+∴1123a a +=.
∴11a =.
∴6
7264a ==.
2.设{n a }是由正数组成的等比数列n S ,为其前n 项和.已知24317a a S =,=,则5S 等于(
) A.152 B.314 C.334 D.172
答案:B
解析:由241a a =可得24
11a q =,因此112a q
=.
又因为2
31(1)7S a q q =++=, 联立两式得11(3)(2)0q q +-=,所以12q =, 所以51
4(1)
531214
12S -==,-故选B.
3.设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,若633S
S =,则96
S
S 等于 )
A.2
B.73
C.83
D.3
答案:B
解析:设公比为q,则33(1)631333
S q S q S S +==+=⇒3q =2, 于是36197124312316
S q q S q ++++===++. 4.等比数列{n a }的公比q>0,已知221n a a +=,+16n n a a +=,则{n a }的前4项和4S = . 答案:152
解析:由216n n n a a a +++=得116n n n q q q +-,+=, 即
2q +-6=0,q>0,解得,q=2.
又21a =, 所以1441(12)15122122
a S -=,==-. 5.三个数成等差数列,其比为3∶4∶5,如果最小数加上1,则三数成等比数列,那么原三数分别为 .
答案:15,20,25
解析:设原三数为345(0)t t t t ,,≠,则2
(31)516t t t +=,解得t=5,
∴3t=15,4t=20,5t=25.
∴原三数为15,20,25.
题组二 等比数列的判断
6.已知等比数列{n a }的通项公式113()2n n a -=⋅且n b =32313n n n a a a --++,求证:{n b }成等
比数列.
证明:∵1
13()2n n a -=⋅,
∴32313n n n n b a a a --=++
3332113()3()22n n --=++3113()2
n - 331113()(1)224
n -=++ 33211()42
n -=. ∴311()2b n b n
+=. ∴{n b }成等比数列.
7.设n S 为数列{n a }的前n 项和2n S kn n n ,=+,∈N *,其中k 是常数.
(1)求1a 及n a ;
(2)若对于任意的m ∈N 24m m m a a a *,,,成等比数列,求k 的值.
解:(1)当n=1时111a S k ,==+,
当2n ≥时21[(n n n a S S kn n k n -,=-=+--21)+-1)]=2kn-k+1. (*)
经验证,当n=1时,(*)式成立,
∴21n a kn k =-+.
(2)∵24m m m a a a ,,成等比数列,
∴224m m m a a a =⋅,
即2
(41)(21)(km k km k -+=-+8km-k+1),整理得mk(k-1)=0, 对任意的m ∈N *成立.
∴k=0或k=1.
题组三 等比数列的性质运用
8.已知等比数列{n a }满足01n a n >,=,2,…,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,log 21a +log 23a +…+log 221n a -等于( )
A.n(2n-1)
B.2
(1)n + C.2n
D.2(1)n - 答案:C 解析:由25252(3)n n a a n -⋅=≥得2220n n n a a =,>,
则n a =2n ,log 21a +log 23a +…+log 2211n a -=+3+…+2(21)n n -=,
选C.
9.已知等比数列{n a }中234a a a ,,分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且11a =公比1q ≠.
则n a 等于
) A.12n - B.22n -
C.12n -
D.22n - 答案:A
解析:设公差为d,则24343a a d a a d =+,=+. ∴4()a d +244(3)(0)a d a d =+≠,
解得4a d =,
∴2342a d a d =,=. ∴1
2q =.
∴12n n a -=.
故选A.
10.已知各项均为正数的等比数列{n a }123789510a a a a a a ,=,=,则456a a a 等于( )
A. B.7
C.6
D. 答案:A
解析:方法一:由等比数列的性质知3312313227897988()5()10a a a a a a a a a a a a a a =⋅==,=⋅==, 所以132850a a =.
所以16333
4564655()(50)a a a a a a a =⋅====
方法二:2456123789()a a a a a a a a a =,
所以456a a a =
11.已知等比数列{n a }的公比为正数,且2395221a a a a ⋅=,=,则1a 等于( )
A.12
D.2
答案:B
解析:2239652a a a a ⋅==,∴2255()2a q a =.
∴22 q=.
又q>0,
∴q=
∴
1
a
a==.
12.设等比数列{
n
a}的公比1
2
q=,前n项和为
n
S,则4
4
S
a
=. 答案:15
解析:对于3
441
4
(1)
1
1
a q
S a a q
q
-
=,=,
-
∴
4
1
415
3(1)
4
S q
a q q
-
==
-。