图论及其应用
范更华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可 以用图来描述。如互联网、交通网、通讯 网、大规模集成电路、分子结构等都可以 用图来描述。对图的研究形成了一个专门 的数学分支：图论（Graph Theory)。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边 相连当且仅当它们对应的信道有公共部 分。波长问题等价于所构造图的点着色 问题：
给图的每个点着色，有边相连的点 须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
图的例子
交通网 互联网 计算机处理器连接方式 集成电路板 分子结构图 分子间相互作用及信息传递
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角 形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的 最小数.
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式 互联网：信息传输及控制管理 大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学：
子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计 最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解: 在图中求一个圈过每点恰好一次, 且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比 较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题) 难度: NP--完全问题
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连 同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相 连，则N含三个两两不连的点。 情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相 连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
Ramsey数问题
一般化: 定义R(s,t)为最小整数使得任意 R(s,t)个人中, 要么有 s 个人两两认识, 要么有 t 个人两两不认识。
R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey问题 应用广、影响大。微软研究中
心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获1997年
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述: 图的边数大于某个数时,该图具有某 种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
子图覆盖
图论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。 数论: 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理: 每个充分大的偶数是一个素数 与不超过两个素数的乘积之和。
Seymour定理: 每个2-边连通图可被一个偶
图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
应用: 投币电话、自动取钞机、机器人行 走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相 认识, 或三个互相不认识。
数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅 当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该 图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。
子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来 覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通 平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点 与偶数条边: 每个大于2的偶数是两个素 数之和。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题: 求 图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次. 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
图论分支
图论
结
随
代
拓
构
机
数
扑
图
图
图
图
论
论
论
论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。
以计算机的出现为标志的信息革命将促 进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如 下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点， 两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。
◆ 没有长度小于5的圈 ◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈) ◆ 边传递、点传递 ◆ 不是平面图
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且 仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的 图是平面图.
四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着 色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题.未被数学界普遍接受.
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。
教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之 一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出 错误证明.