福州一中2017年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校： 姓 名： 准考证号： 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1.下列运算正确的是（ ）A ．22423+=a a aB ．2242-=a a aC ．22422⋅=a a aD ．2222÷=a a a2．下列命题错误．．的个数是（ ） ① 经过三个点一定可以作一个圆；② 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ③ 对角线相等的四边形是矩形；④ 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.A ．1B ．2C ．3D ．43. 在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，有如下结论：①2甲s ＞2乙s ；②2甲s ＜2乙s ；③甲的射击成绩比乙稳定；④乙的射击成绩比甲稳定，由统计图可知正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③4. 2017年5月14日，福州一中将喜迎建校两百周年华诞，当天正好是星期日，以当天作为第1天开始算起，则第366天是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期六D ．星期日5.对于两个实数,a b ，规定{},max a b 表示,a b 中的较大值，当a b ≥时，{},max a b a =，当a b <时，{},max a b b =，例如：{}1,33max =.则函数{}2236,y max x x x x =+--的最小值是（ ）A ．34 B ．14- C ．154 D ．334-6. 如下表，把一列互不相等的正整数按照从小到大的顺序填入下列表格，已知前两个格子填入的数分别为1和2.任取四个彼此相邻格子中的数，从小到大依次记为a 、b 、c 、d ，且满足2)1)(1(=++ba ，则第5个格子中的数m 为( )A.5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7. 《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就． 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两． 问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两． 问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．8.如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4:5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为 度．9. 若函数=-y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式(3)0k x b -->的解集为 ．10.观察下列等式：332123+=，33321236++=，333321+2+3+410=，…，根据上述规律，第五个等式为________________．MBA11. 如图，AB 是⊙O 的直径，8=AB ，点M 在⊙O 上，45∠= MAB ，N 是劣弧MB 的三等分点（靠近点B ），P 是 直径AB 上的一动点，则∆PMN 周长的最小值为__________．12.定义二次函数的图象与直线x y =交点的横坐标为二次函数的不动点.已知二次函数()21324=+-+-y x mn x mn 有唯一的不动点，若3-≤m 且0<mn ，则n 的取值范围是 .三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13. （本小题满分13分）已知四边形ABCD ，点E 在边BC 上，P 为对角线BD 上的动点，满足⊥AP PE . （Ⅰ）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），求证：=PA PE ；（Ⅱ）当四边形ABCD 为矩形，且6=AD ，4=CD 时（如图2），试探究:AP PE 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.14.（本小题满分13分）如图，海中有一小岛D ，它周围12海里内有暗礁.一艘巡逻船在D 岛海域例行巡逻，某时刻航行至A 处时，测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一渔船，且D 岛位于巡逻船正东214海里处.观测中发现，此渔船正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.如果渔船不改变航线继续前行，有没有触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，巡逻船的速度至少为多少时，才能将该渔船拦截在暗礁区域之外，并确定此时巡逻船的航向. （参考数据：sin 3652'0.6︒≈，sin 5308'0.8︒≈）15.（本小题满分14分）已知抛物线h x y C +-=21)1(21:的顶点为C ，并与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，直线b x y l +=:经过B 、C . （Ⅰ）求抛物线1C 的解析式和直线l 的表达式；（Ⅱ）点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接CD 、BD .平移BCD ∆，得到PQF ∆(B 、C 、D 的对应点分别为P 、Q 、F )，满足PQ 在直线l 上，点F 在抛物线1C 上，求此时点F的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，取位于x 轴上方的点F ，连接AF 、AC .设M 、N 分别为射线CA 和射线AF 上的动点，连接MN ，以MN 为直径的⊙R 经过点Q ，点M 从C 开始沿射线CA 运动的过程中，试求线段FR 的最小长度.福州一中2017年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 5210258+=⎧⎨+=⎩x y x y 8． 288 9． 5<x10．333333212345621+++++=11．4+12．103<≤n 三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13. 本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分13分．（Ⅰ）法一:证明：过P 作⊥PM AB 于M ，⊥PN BC 于N ，……………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90∠=ABC ， ∴ 四边形BMPN 是矩形， 又 ∵ BD 是∠ABC 的角平分线，∴ =PM PN ……………………………………2分 ∴ 四边形BMPN 是正方形， ∴ 90∠=MPN ， ∵ ⊥AP PE ， ∴ 90∠= APE ，∴ ∠-∠=∠-∠APE MPE MPN MPE∴ ∠=∠APM EPN ……………………………………4分 在∆APM 和∆EPN 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AMP ENP PM PNAPM EPN ， ∴ ∆APM ≌∆EPN （ASA ），……………………………………5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，.....................2分∴ ∠=∠ABP AEP .....................3分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴45ABP ︒∠=，∴ 45∠=AEP ，∴45EAP ︒∠=∴∠=∠EAP AEP ......................5分 ∴ .=AP PE ……………………………………6分（Ⅱ）法一：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ 90∠=BAD ， 又∵90∠= PBM ， ∴ PM ∥AD ， ∴ ∆BPM ∽∆BDA ， ∴=PM BPAD BD，……………………………………7分 同理，PN BPCD BD =， ∴PM PN AD CD=， ∴63==42=PM AD PNCD ，……………………………………9分 ∵ 90∠=∠=AMP ENP ，∠=∠MPA EPN ， ∴ ∆APM ∽.∆EPN ……………………………………10分 ∴=AP PMPE PN……………………………………11分 ∴ :3:2.=AP PE 为定值.…………………………………12分 法二：连AE ，由90ABC APE ︒∠=∠=，∴、B P 两点都在以AE 为直径的圆上，..................8分∴ABP AEP ∠=∠，......................9分tan tan ∴∠=∠ABP AEP∵ tan tan ，∠=∠=AP AD AEP ABP AE AB....................11分 ∴3.2==AP AD AE AB .....................12分 （或证明AEP ABD ∆∆∽）14. 本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．解：在ΔABD 中作DA B C ⊥于点C .…………………2分 在ABC Rt ∆中，1645AB BAC ︒=∠=，28==∴AC BC ……………………………………3分2628214=-=-=∴AC AD CD ………………………………4分依题意，以点D 为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分∵ 12<所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分在BC 上取点E 使得12=ED ，连接AE ，ED . 在CED Rt ∆中，12=ED ，26=CD所以，222CD ED CE -=26=∴CE ……………………………8分在A C E Rt ∆中，222AC CE AE +=210=∴AE ……………………………9分所以，在A C E Rt ∆中，53sin ==∠AE CE EAC '3652EAC ︒∴∠= ……………………………11分因为该渔船到达点E 的时间224224===BE t 小时. 所以巡逻船速度2022210==≥t AE v 海里/小时. ………………………13分 所以，巡逻船要以北偏东9036525308︒︒︒''-=的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截. ………………………14分 （注：没有取“=”扣1分）15. 本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分14分．解：（Ⅰ）法一： 当0=y 时即0)1(212=+-h x ，则 h x -=-2)1(21有两个不同的实根， 0<∴h (注：说明因二次函数开口向上，与x 轴交于A 、B 两点则0<h 亦可) ……1分由已知可得)0,(b B -，),1(h C ，则⎪⎩⎪⎨⎧+==+--1)1(212b h h b解得2-=h 或0（舍），3-=b .......................................3分23212)1(21:221--=--=∴x x x y C 3:-=x y l ............4分 法二：过C 作x CH ⊥轴于H当0=y 时即0)1(212=+-h x ，则 h x -=-2)1(21有两个不同的实根，0<∴h ...1分解得h x 21-±=，则)0,21(h B -+由已知可得)0,(b B -，),1(h C ，设直线l 与y 轴交于点),0(b D ， ∵ ||b OD OB ==，90=∠BOD∴ 45=∠OBD BCH ∆∴为等腰直角三角形BH CH =∴即h h -=--+121解得2-=h∴)0,3(B ，)2,1(-C ...................................3分23212)1(21:221--=--=∴x x x y C 3:-=x y l ............4分 （Ⅱ）设DC 交x 轴于H .由题意可得)2,1(D ，)0,1(HCH BH =， 90=∠CHB ， 45=∠=∠∴CBH BCH∵点D 和点C 关于x 轴对称BD BC =∴，BCD ∆为等腰直角三角形且42==CH CD 由平移的性质可知4=FQ 且CD FQ //...............6分 设)3,(-t t Q ，则)2321,(2--t t t F ，4|)3(2321|2=----=t t t FQ....................8分解得1-=t 或5，则)0,1(-F 或)6,5( ....................9分（Ⅲ）连接AR ，QR∵ 22==BC AC ，4=AB∴ABC ∆为等腰直角三角形90=∠ACB ， 45=∠=∠BAC ABC .......10分由（Ⅱ）可知 90=∠=∠FPQ ACB ，)2,5(QPF AC //∴∵==AC BC PF ∴四边形ACPF 为矩形90=∠∴MAN RQ MN AR ==∴21R ∴在AQ 的垂直平分线m 上......................11分过F 作⊥FG m 于G ，由垂线段最短可知FG 即为线段FR 的最小长度. .... .....12分 当点M 在C 处时，R 在AQ 的中点1R 处，当点M 在A 处时，R 在AN 上的点2R 处 由上可知()56，F . 则24=CQ ，10222=+=CQ AC AQ ，101=AR ，26==CP AF∵四边形ACPF 为矩形CP AF //∴ 21AR R CQA ∠=∠∴ 21cos cos AR R CQA ∠=∠∴得2252=AR ，2272=FR ∵12290︒∠==∠AR R FGR1//AR FG ∴222GFR AR R ∠=∠∴222112cos cos FR FGGFR AR AR AR R =∠==∠∴ 5107=∴FG 即线段FR 的最小长度为5107..............................14分。