§1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．预习教材P2，完成下面问题：知识点1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)漂亮的花可以组成集合．()(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．()(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．()提示(1)ד漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．(2)×由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．(3)×集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．知识点2元素与集合的关系【预习评价】思考 设集合A 表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A 有什么关系？如何用数学语言表示？提示 3是集合A 中的元素，即3属于集合A ，记作3∈A ；4不是集合A 中的元素，即4不属于集合A ，记作4∉A .知识点3 常用数集及表示符号(1)若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－2 C ．78D ．7 (2)若2<x <10，且x ∈Z ，则x ＝________.解析 (1)由选项知7是实数，但不是有理数，故选D ． (2)大于2且小于10的整数为2和3，故x ＝2或3. 答案 (1)D (2)2或3题型一 集合的判定问题【例1】 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合．规律方法 判断一组对象能否构成集合的依据【训练1】 给出下列说法：①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________(填序号)．解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．答案 ①③题型二 元素与集合的关系【例2】 (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．解析 (1)①②正确；③④⑤不正确． (2)∵63－x ∈N ，x ∈N ，∴当x ＝0时，63－x ＝2∈N ，∴x ＝0满足题意；当x ＝1时，63－x＝3∈N ，∴x ＝1满足题意；当x ＝2时，63－x ＝6∈N ，∴x ＝2满足题意，当x >3时，63－x <0不满足题意，所以集合A 中的元素为0,1,2.答案 (1)B (2)0,1,2规律方法 判断元素与集合关系的两个关键点判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．【训练2】设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A．a∈M B．a∉M C．a＝M D．a≠M解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a∉M.答案 B试求实数a的值．解因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.【迁移1】(变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．解由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.【迁移2】(变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a 的值是什么？解由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．课堂达标1．下列能构成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼解析 A ，B ，D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案 C2．由形如x ＝3k ＋1，k ∈Z 的数组成集合A ，则下列表示正确的是( ) A ．－1∈A B ．－11∈A C ．15D ．32解析 －11＝3×(－4)＋1，故选B ． 答案 B3．下列三个命题： ①集合N 中最小的数是1； ②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2. 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a ＝32，则－a ∉N 且a ∉N ，显然②不正确．答案 A4．已知集合A 中的元素x 满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析 由题意a 不满足不等式x ≥2，即a <2. 答案 a <25．若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解 因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素．课堂小结1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．第2课时集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法(重点).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合(难点)．预习教材P3－P5，完成下面问题：知识点集合的表示方法(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【预习评价】(1)集合{x∈N*|x－4<2}的另一种表示形式是()A．{0,1,2,3,4}B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}(2)方程x2－1＝8的解集用列举法表示为________．解析(1)由x－4<2得x<6，又x∈N*，故x的值为1,2,3,4,5，用列举法表示为{1,2,3,4,5}．(2)由x2－1＝8得x2＝9，即x＝±3，故其解集用列举法表示为{－3,3}．答案(1)D(2){－3,3}题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)不大于10的正偶数集；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0的解集．解 (1)因为15的正约数为1,3,5,15， 所以所求集合可表示为{1,3,5,15}． (2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10， 所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋6＝0，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0.所以所求集合可表示为{(－3,0)}．规律方法 用列举法表示集合的三个注意点(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性． (2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便． (3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键． 【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数； (2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集．解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集． (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1}＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1}＝{(1,1)}，是有限集.【例(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．【迁移1】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”解 位于第二象限的点(x ，y )的横坐标为负，纵坐标为正， 即x <0，y >0，故第二象限的点的集合为{(x ，y )|x <0，y >0}．【迁移2】 (变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}．规律方法 用描述法表示集合的注意点 (1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ； (2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一集合用描述法表示可以不唯一． 题型三 集合表示方法的综合应用【例3】 (1)用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且86－x ∈N ＝________.(2)集合A ＝{x ∈kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .(1)解析 ∵x ∈Z 且86－x∈N ，∴1≤6－x ≤8，－2≤x ≤5.当x ＝－2时，1∈N ；当x ＝－1时，87∉N ；当x ＝0时，43∉N ；当x ＝1时，85∉N ；当x ＝2时，2∈N ；当x ＝3时，83∉N ；当x ＝4时，4∈N ；当x ＝5时，8∈N .综上可知A ＝{－2,2,4,5}．答案 {－2,2,4,5}(2)解 ①当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}； ②当k ≠0时，∵集合A 中只有一个元素，∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根． ∴Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴A ＝{4}． 综上可知，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．规律方法 1.识别集合的两个步骤：一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集； 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)． 2．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的个数在涉及ax 2＋bx ＋c ＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a 是否为0，当a ＝0时，方程为bx ＋c ＝0是一次方程，再分b 是否为0两种情况讨论其根的个数；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．【训练2】 用列举法表示下列集合． (1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }． 解 (1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意， 所以A ＝{2,5,6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 所以B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．课堂达标1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}解析 集合{x |x 2－2x ＋1＝0}实质是方程x 2－2x ＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B ．答案 B2．下列各组集合中，表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{3,2}，N ＝{2,3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3,2}，N ＝{(3,2)}解析 由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}． 答案 B3．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．9解析 比较A 和B 中的元素可知x ＝2. 答案 B4．大于3并且小于10的整数的集合用描述法表示为________．解析 设该数为x ，由题意得3<x <10，且x ∈Z ，故集合是：{x |3<x <10，x ∈Z }． 答案 {x |3<x <10，x ∈Z }5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．解 (1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，则用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2.(3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课堂小结1．集合表示的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则； (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．1.1.2 集合间的基本关系学习目标 1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重点).2.了解Venn 图的含义，会用Venn 图表示两个集合间的关系(难点).3.了解空集的含义及其性质(易错点)．预习教材P6－P7，完成下面问题： 知识点1 子集的相关概念 (1)Venn 图①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．②适用范围：元素个数较少的集合． ③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.③真子集的概念A B(或B A)定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为：∅.规定：空集是任何集合的子集．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1⊆{1,2,3}．()(2)任何集合都有子集和真子集．()(3)∅和{∅}表示的意义相同．()提示(1)ד⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系．(2)×空集只有子集，没有真子集．(3)×∅是不含任何元素的集合，而{∅}集合中含有一个元素∅.知识点2集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.③若A⊆B，A≠B，则A B.【预习评价】若{1,2}⊆B⊆{1,2,4}，则B＝________.解析 由条件知B 中一定含有元素1和2，故B 可能是{1,2}，{1,2,4}． 答案 {1,2}或{1,2,4}题型一 集合关系的判断【例1】 指出下列各对集合之间的关系：(1)A ＝{－1,1}，B ＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}； (3)A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x －5<0}；(4)M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．解析 (1)集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B . (3)集合B ＝{x |x <5}，用数轴表示集合A ，B ，如图所示，由图可知A B .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故N M .规律方法 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图．【训练1】 (1)集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A B D ．B A(2)已知集合A ＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A ＝B B ．A BC ．B AD ．A ⊆B解析 (1)∵A ＝{－2,3}，B ＝{3}，∴B A .(2)在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案 (1)D (2)C题型二子集、真子集个数问题【例2】(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．(2)写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.(1)解析集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．答案∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}7(2)解由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．2．求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．【训练2】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.解B是A的子集，则B可能是∅，{a}，{b}，{a，b}．【探究2】下列命题正确的是()A．A⊆∅B．∅⊆A C．A∅D．∅A解析由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选B．答案 B【探究3】设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1<x<2a}，若集合A，B，C分别是空集，则实数a的值或范围分别是什么？解 集合A ，B ，C 都可能是空集．当a ＝0时，集合A 是空集，当Δ＝1－4a <0，且a ≠0，即a >14时，集合B 是空集；当a ＋1≥2a ，即a ≤1时，集合C 是空集．【探究4】 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【训练3】 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解 (1)若A B ，由图可知a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.课堂达标1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}, 四个；故选B ．答案 B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D．S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D．答案 D3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}＝{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含有两个元素0,1；{(0,1)}含有一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等；∴正确的个数是2.故选B．答案 B4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1，或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故实数a的值为1.课堂小结1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)．预习教材P8－P9，完成下面问题：知识点1并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．【预习评价】(1)已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}(2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析(1)A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}．(2)A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5}，共5个元素．答案(1)A(2)5知识点2交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．【预习评价】(1)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝()A．{0，－1}B．{1} C．{0}D．{－1,1}(2)若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1<x<4}，则P∩Q＝________.解析(1)M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}，故选B．(2)如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}．答案(1)B(2){x|1≤x<4}题型一并集的概念及简单应用【例1】(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于() A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．答案(1)A(2)C规律方法求集合并集的两种方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．【训练1】已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,3}C．{1,3,9}D．{0,1,3,9}解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．答案 D题型二交集的概念及简单应用【例2】(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3} C．{－3,2}D．{－2,3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}解析(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B ＝{2}，故选A．(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．答案(1)A(2)A规律方法求集合A∩B的常见类型(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集．(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N ＝( ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}解析 (1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，故A ∩B ＝{8,14}，故选D ．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故M ∩N ＝{(3，－1)}． 答案 (1)D (2)DA 与B 具有怎样的关系？解 A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，即A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，A ⊆B 三者为等价关系． 【探究2】 若集合＝{x |x 2＋2x －a ＝0}＝∅，求a 的取值范围． 解 由题意知方程x 2＋2x －a ＝0无实根，故Δ＝4＋4a <0，解得a <－1. 【探究3】 设集合A ＝{1,2}，若B ⊆A ，求B . 解 B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}．【探究4】 设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)由题可知：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，将2带入集合B 中得：4＋4(a －1)＋(a 2－5)＝0，解得：a ＝－5或a ＝1.当a ＝－5时，集合B ＝{2,10}符合题意； 当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a ＝－5或a ＝1.(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{1,2}，∴B ＝∅或B ＝{1}或{2}或{1,2}． 若B ＝∅，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a <0，解得a >3；若B ＝{1}，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝0，不成立； 若B ＝{2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝－1，不成立； 若B ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a >0，1＋2＝－2(a －1)，1×2＝a 2－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ＝－12，a ＝±7，此时不成立，综上a >3.规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解．【训练3】 已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解 由A ∩B ＝∅，(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a ＞3}．课堂达标1．设集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3} B ．{0,1}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}解析 因为集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，故选A ． 答案 A2．已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2<x ≤5}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |－1≤x ≤5} C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1<x ≤5}解析 ∵集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2<x ≤5}，∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤5}，故选B ． 答案 B3．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．8解析 由M ∪N ＝{－1,0,1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M ＝{0，－1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C ．答案 C4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3解析 ∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B ．答案 B5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，求： (1)A ∪B ；(2)C ∩B .解 (1)由集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，把两集合表示在数轴上如图所示：得到A ∪B ＝{x |2<x <10}；(2)由集合B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，把两集合表示在数轴上如图所示：则C ∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．课堂小结1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．第2课时补集及综合应用学习目标 1.理解全集、补集的概念(难点).2.准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．预习教材P10－P11，完成下面问题：知识点补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U.(2)补集(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)＝________.(2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.解析(1)∵A∪B＝{1,2,3,4}，∴∁U(A∪B)＝{5}．(2)由∁A B＝{5}知5∈A且5∉B，即5∈{3,4，m}，故m ＝5.答案 (1){5} (2)5题型一 补集的基本运算【例1】 (1)设集合U ＝R ，M ＝{x |x >2或x <0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0<x <2} C ．{x |x <0或x >2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}(2)已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 (1)如图，在数轴上表示出集合M ，可知∁U M ＝{x |0≤x ≤2}．(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，解得a ＝2.答案 (1)A (2)2 规律方法 求补集的方法(1)列举法表示：从全集U 中去掉属于集合A 的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U 中集合A 以外的所有元素组成的集合．【训练1】 (1)已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3<x ≤4}，则∁U A ＝________. (2)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析 (1)借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3或x >4}．(2)∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3. 答案 (1){x |x ＝－3或x >4} (2)－3 题型二 集合交、并、补的综合运算【例2】 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．解 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．所以A∩B＝{x|－2<x≤2}；(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．规律方法 1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．2．求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．【训练2】已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．求：(1)(∁S A)∩(∁S B)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁S A)∪(∁S B)；(4)∁S(A∩B)．解(1)如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，∁S A＝{x|1<x<2或5≤x≤7}，∁S B＝{x|1<x<3}∪{7}．由此可得：(1)(∁S A)∩(∁S B)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}．(3)(∁S A)∪(∁S B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}．(4)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3或5≤x≤7}.U U什么？解如果a∈∁U B，那a∉B，“a∈A∩(∁U B)”意味着a∈A且a∉B.【探究2】是否存在元素a，使得a∈A且a∈∁U A？若集合A＝{x|－2<x≤3}，则∁R A 是什么？解不存在a，使得a∈A且a∈∁U A；若A＝{x|－2<x≤3}，则∁R A＝{x|x≤－2或x>3}．【探究3】(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(∁U A)＝{2}，A∩(∁U B)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．。