2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两
段建立弯矩方程。
28
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段 BC段
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
16
基本概念
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件 的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量 产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都 是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以 承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形， 吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的 效果。
41
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
例题8-2
已知：简支梁受力
如图示，q、l、EI
均为已知。
求：C截面的挠度 wC ；B截面的转角 B
42
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
解：1.将梁上的载荷变 为3种简单的情形。
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
用。
三种情形下，AB段梁 的曲率（1／）处处对应相
等，因而挠度曲线具有相同 的形状。但是，在三种情形 下，由于约束的不同，梁的 位移则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
14
基本概念
梁的位移分析的工程意义
15
基本概念
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。 工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。 弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生 刚度失效。
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
3. 应用叠加法，将简单载荷作用 时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相加，
分别得到梁C截面的挠度和支座B
处的转角:
wC
3
wCi
i 1
11 ql 4 384 EI
,
B
3
Bi
i 1
11 48
ql 3 EI
45
工程中的叠加法
叠加法应用于 间断性分布载荷作用的情形
2
2
dx
21
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
小挠度情形下
dw
2
<<
dx 1
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M dx2 EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中
的正负号与w坐标的取向有关。
22
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
d2w 0,M 0
46
工程中的叠加法
叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力 与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变 为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布 载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布 载荷，最后应用叠加法。
47
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
17
第8章 梁的弯曲变形
小挠度微分方程及其积分
18
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程 积分常数的确定 约束条件与连续条件
19
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
20
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
力学中的曲率公式
1M
ห้องสมุดไป่ตู้I
高等数学中的曲率公式
d2w
1
dx 2
3
1
dw
x
－
3 4
FP x＋FP
x－ l 4
l 4
x
l
积分后，得
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和 AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
第8章 梁的弯曲变形
1
第8章 梁的弯曲变形
在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲 成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面。 由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变， 这种改变称为位移。
位移是各部分变形累加的结果。位移与变 形有着密切联系，但又有严格区别。杆件横截面 的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约 束有关。
37
工程中的叠加法
在很多的工程计算手册中，已将各种支承 条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和 转角表达式一一列出，简称为挠度表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线 和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以 及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用-叠 加法-由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下 梁的位移。
dx 2
d2w 0,M 0 dx 2
d2w M dx 2 EI
d2w M dx2 EI
23
小挠度微分方程及其积分
小挠度曲线微分方程
采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的
2
第8章 梁的弯曲变形
本章将在分析变形与位移关系的基础上， 建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概 念，同时还介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚 度设计准则。
3
第8章 梁的弯曲变形
基本概念 小挠度微分方程及其积分 工程中的叠加法 简单的静不定梁 梁的刚度设计 结论与讨论
4
第8章 梁的弯曲变形
2
4
7
l2
128
wx FP 1 x3 7 l 2 x
EI 8 128
wx
FP
1
x3
1 x
l
3
7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分
别为
wB
3 256
FPl 3 EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
－ 5 128
FPl 2 EI
38
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
39
工程中的叠加法
叠加法应用于 多个载荷作用的情形
40
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其 分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这 些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便 得到几种载荷同时作用的结果。
挠度方程与转角方程：
dw M x
dx
l
EI
dx C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
24
小挠度微分方程及其积分
积分常数的确定 约束条件与连续条件
25
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。 约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：
梁的挠度与转角
8
基本概念
梁的挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种 位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用w表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转
过的角度，称为转角用表示；
9
基本概念
梁的挠度与转角
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移
在下列关系： dw tan dx
在小变形条件下，挠曲线较为平
坦，即很小，因而上式中tan。
于是有
dw
dx w＝ w（x），称为挠度方程。
12
基本概念
梁的位移与约束密切相关
13
基本概念
梁的位移与约束密切相关
三种承受弯曲的梁
AB 段 各 横 截 面 都 受 有 相 同 的 弯 矩 （ M ＝ Fa ） 作
43
工程中的叠加法
叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题
2.由挠度表查得3种情形下C截 面的挠度；B截面的转角。
wC1
5 384
ql 4 EI
,
wC 2
1 48
ql 4 EI
,
wC 3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 EI
,
B2
1 16
ql 3 EI
,
B3
1 3
ql 3 EI
,
44
在支座A、C两处挠度应为零，即 x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段
梁交界处的挠度和转角必须分别相等:
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
32
小挠度微分方程及其积
分
积分常数的确定约束条件与连续条件-例题