准备题1. 如图，直线y =-12x +1和抛物线y =x 2+bx +c都经过点A （2,0）和点B （k ,34）．（1）k 的值是 ；（2）求抛物线的解析式；（3）不等式x 2+bx +c >-12x +1的解集是 .例1..如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B C ，两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =． （1）求A 点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC ．请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似，若存在，请求出点Q[解]直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，∴当0y =时，3x =，(图6）∴点B 的坐标为(30)，． 又抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为2x =，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为(1（2）3y x =-+过点C ，易知(03)C ，，3c ∴=．又抛物线2y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，，309330a b a b +==⎧∴⎨++=⎩，． 解得14a b =⎧⎨=-⎩，．243y x x ∴=-+． （3）连结PB ，由2243(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，45PBM PB ∴==，∠．由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，在等腰直角三角形OBC 中，45ABC =∠，由勾股定理，得BC = 假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当BQ PBBC AB=，45PBQ ABC ==∠∠时，PBQ ABC △∽△． =，3BQ ∴=，又3BO =，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当QB PB AB BC=，45QBP ABC ==∠∠时，QBP ABC △∽△． 即2QB =，23QB ∴=．273333OB OQ OB QB =∴=-=-=，， 2Q ∴的坐标是703⎛⎫⎪⎝⎭，．180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠，，∠∠∠∠． ∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上x综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似。

例2.二次函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值．[解] （1）根据题意，设点B 的坐标为218x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0x >．点A 的横坐标为2-，122A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，，AC BD ∴∥，32MC =，2128MD x =-．Rt Rt BDM ACM ∴△∽△．BD MD AC MC ∴=．即2128322x x -=． 解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． （2）存在． 连结AP ，BP ． 由（1），12AE =，8BF =，10EF =．设EP a =，则10PF a =-．AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，AEP PFB ∴△∽△．AE EP PF BF ∴=．12108aa ∴=-．解得5a =5a = ∴点P的坐标为()3或()3．（3）根据题意，设218A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，218B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，不妨设0m <，0n >． 由（1）知BD MDAC MC=， 则22128128n n m m -=--或22128128n n m m -=--． 化简，得()()160mn m n +-=．0m n -≠， 16mn ∴=-． 16AC BD ∴=．例3. (课改卷）已知抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴的交点． （1）求a b ，的值（2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；[解] （1）由2230x x --=，得1213x x =-=，． (10)(30)A B ∴-，，，，把AB ，两点的坐标分别代入22y ax bx =++联立求解，得2433a b =-=-，．（2）由（1）可得224233y x x =-++，当0x =时，2y =，(02)C ∴，． 设AC y kx b =+:，把A C ，两点坐标分别代入y kx b =+，联立求得22k b ==，．∴直线AC 的解析式为22y x =+．同理可求得直线BC 的解析式是223y x =-+． （3）假设存在满足条件的点P ，并设直线y m =与y 轴的交点为(0)F m ，．①当DE 为腰时，分别过点D E ，作1DP x ⊥轴于1P ，作2EP x ⊥轴于2P ，如图，则1PDE △和2P ED △都是等腰直角三角形， 12DE DP FO EP m ====，214AB x x =-=．DE AB ∥，CDE CAB ∴△∽△， DE CF AB OC ∴=，即242m m -=．解得43m =．xx∴点D 的纵坐标是43，点D 在直线AC 上， 4223x ∴+=，解得13x =-，1433D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．∴1103P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，同理可求2(10)P ，． ②当DE 为底边时，过DE 的中点G 作3GP x ⊥轴于点3P ，如图， 则3DG EG GP m ===， 由CDE CAB △∽△，得DE CF AB OC =，即2242m m-=，解得1m =． 同1方法．求得131122D E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 31DG EG GP ∴===312OP FG FE EG ∴==-=，3102P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． 结合图形可知，2223324P D P E ED ===，，22233ED P D P E ∴=+，3DEP ∴△是Rt △，3102P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，也满足条件．综上所述，满足条件的点P 共有3个，即123110(10)022P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，例4.在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在y 轴的E 点上，则xC 和D 点依次落在第二象限的F 点上和x 轴的G 点上（如图）． （1）求经过BE G ，，三点的二次函数解析式；（2）设直线EF 与（1）的二次函数图象相交于另一点H ，试求四边形EGBH 的周长． （3）设P 为（1）的二次函数图象上的一点，BP EG ∥，求P 点的坐标． （1）解：由题意可知，4AE AB ==，2AG AD BC ===． (40)B ，∴，(04)E ，，(20)G -，．设经过B E G ，，三点的二次函数解析式是(2)(4)y a x x =+-．把(04)E ，代入之，求得12a =-． 3分 ∴所求的二次函数解析式是：211(2)(4)422y x x x x =-+-=-++．（2）解：由题意可知，四边形AEFG 为矩形． FH GB ∴∥，且6GB =．∵直线4y =与二次函数图象的交点H 的坐标为(24)H ，， 2EH =∴．G ∵与B E ，与H 关于抛物线的对称轴对称，BH EG ===∴ ∴四边形EGBH 的周长262=++⨯8=+．（3）设BP 交y 轴于M ．BP EG ∵∥，::AB AG AM AE =∴，即4:2:4AM =8AM =∴，于是(08)M -，． 设直线BM 的解析式为y kx b =+． 把(40)B ，，(08)M -，代入之，得408.k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28.k b =⎧⎨=-⎩，28y x =-∴．组成方程组2281 4.2y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得620x y =-⎧⎨=-⎩，或40.x y =⎧⎨=⎩，（此组数为B 点坐标）∴所求的P 点坐标为(620)P -，．练习. 如图11，抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，连接BC 、BD .（1）点A 的坐标是 ，点B 的坐标是 ，点D 的坐标是 ； （2）若点E 是x 轴上一点，连接CE ，且满足∠ECB =∠CBD ，求点E 坐标. （3）若点P 在x 轴上且位于点B 右侧，点A 、Q 关于点P 中心对称，连接QD ，且.(图11）(备用图）。