1.如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于点B ，点C ，经过B C ，两点的抛物线
2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线2x =．
（1）求A 点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC ．请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与
ABC △相似，若存在，请求出点Q
[解]
直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，∴当0y =时，x ∴点B 的坐标为(30)，． 又抛物线过x 轴上的A
B ，两点， 且对称轴为2x =，根据抛物线的对称性，∴点A 的坐标为(1（2）3y x =-+过点
C ，易知(03)C ，，3c ∴=．
又
抛物线2
y ax bx c =++过点(10)(30)A B ，，，，
309330a b a b +==⎧∴⎨
++=⎩，． 解得1
4a b =⎧⎨=-⎩，．
243y x x ∴=-+． （3）连结PB ，由2
2
43(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，
设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，
45PBM PB ∴==，∠．由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，
在等腰直角三角形OBC 中，45ABC =∠，由勾股定理，得BC = 假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当
BQ PB
BC AB
=，45PBQ ABC ==∠∠时，PBQ ABC △∽△． 2=
，3BQ ∴=，又3BO =，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当
QB PB AB BC
=，45QBP ABC ==∠∠时，QBP ABC △∽△．
即
2
232
QB =
，23QB ∴=．273333OB OQ OB QB =∴=-=-=，， 2Q ∴的坐标是703⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠，，∠∠∠∠． ∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上
综上所述，在x 轴上存在两点127(00)03Q Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似。

2.（河南卷）二次函数2
18
y x =
的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．
（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值． [解] （1）根据题意，设点B 的坐标为2
18
x x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，，其中0x >．
点A 的横坐标为2-，
122A ⎛
⎫∴- ⎪⎝
⎭，．
AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，，AC BD ∴∥，3
2
MC =
，2128MD x =-．Rt Rt BDM ACM ∴△∽△．BD MD AC MC ∴=
．即2
12
8
32
2
x x -=． 解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． （2）存在．
连结AP ，BP ．
由（1），1
2
AE =
，8BF =，10EF =．设EP a =，则10PF a =-． AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，AEP PFB ∴△∽△．
AE EP PF BF ∴=
．12108
a
a ∴=-
．解得5a =
5a = ∴点P
的坐标为()3
或(
)
3．
（3）根据题意，设2
18
A m m ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，2
18
B n n ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，，不妨设0m <，0n >．
由（1）知
BD MD
AC MC =
， 则22128128n n m m -=--或2
212812
8
n n m m -=
--． 化简，得()()160mn m n +-=．
0m n -≠，
16mn ∴=-． 16AC BD ∴=．
3. (湖北湛江课改卷）已知抛物线2
2y ax bx =++与x 轴相交于点1(0)A x ，
，2(0)B x ，12()x x <，且12x x ，是方程2230x x --=的两个实数根，点C 为抛物线与y 轴
的交点．
（1）求a b ，的值
（2）分别求出直线AC 和BC 的解析式；
（3）若动直线(02)y m m =<<与线段AC BC ，分别相交于D E ，两点，则在x 轴上是否存在点P ，使得DEP △为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；
[解] （1）由2
230x x --=，得121
3x x =-=，．
x
(10)(30)A B ∴-，，，，把A
B ，两点的坐标分别代入22y ax bx =++联立求解，得 24
33
a b =-=-，．
（2）由（1）可得224
233
y x x =-
++，当0x =时，2y =，(02)C ∴，． 设AC y kx b =+:，把A C ，两点坐标分别代入y kx b =+，联立求得
22k b ==，．∴直线AC 的解析式为22y x =+．
同理可求得直线BC 的解析式是2
23
y x =-
+． （3）假设存在满足条件的点P ，并设直线y m =与y 轴的交点为(0)F m ，．
①当DE 为腰时，分别过点D E ，作1DP x ⊥轴于1P ，作2EP x ⊥轴于2P ，如图，则
1PDE △和2P ED △都是等腰直角三角形， 12DE DP FO EP m ====，
214AB x x =-=．
DE AB ∥，CDE CAB ∴△∽△， DE CF AB OC ∴=
，即242m m -=．解得4
3
m =． ∴点D 的纵坐标是4
3
，点D 在直线AC 上，
4223x ∴+=
，解得13x =-，1433D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
，．
∴1103P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
，同理可求2(10)P ，． ②当DE 为底边时，
过DE 的中点G 作3GP x ⊥轴于点3P ，如图， 则3DG EG GP m ===， 由CDE CAB △∽△，
x
x
得
DE CF AB OC =，即2242
m m
-=
，解得1m =． 同1方法．求得131122D E ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，，，， 31DG EG GP ∴===
312OP FG FE EG ∴==-=
，3102P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，． 结合图形可知，222
3324P D P E ED ===，，
22233ED P D P E ∴=+，3DEP ∴△是Rt △，3102P ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P 共有3个，即1231
10(10)022P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
，，，，
4.在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在y 轴的E 点上，则C 和D 点依次落在第二象限的F 点上和x 轴的G 点上（如图）．
（1）求经过B
E G ，，三点的二次函数解析式； （2）设直线E
F 与（1）的二次函数图象相交于另一点H ，试求四边形EGBH 的周长．
（3）设P 为（1）的二次函数图象上的一点，BP EG ∥，求P 点的坐标． （1）解：由题意可知，4AE AB ==，2AG AD BC ===． (40)B ，∴，(04)E ，，(20)G -，．
设经过B
E G ，，三点的二次函数解析式是(2)(4)y a x x =+-． 把(04)E ，代入之，求得1
2
a =-
． 3分 ∴所求的二次函数解析式是：
211
(2)(4)422
y x x x x =-+-=-++．
（2）解：由题意可知，四边形AEFG 为矩形． FH GB ∴∥，且6GB =．
∵直线4y =与二次函数图象的交点H 的坐标为(24)H ，
，
2EH =∴．
G ∵与B E ，与H 关于抛物线的对称轴对称，
BH EG ===∴ ∴四边形EGBH 的周长
262=++⨯
8=+．
（3）设BP 交y 轴于M ．BP EG ∵∥， ::AB AG AM AE =∴，即4:2:4AM =
8AM =∴，于是(08)M -，． 设直线BM 的解析式为y kx b =+． 把(40)B ，，(08)M -，代入之，
得408.k b b +=⎧⎨
=-⎩，解得28.
k b =⎧⎨=-⎩，
28y x =-∴．
组成方程组2
281 4.2
y x y x x =-⎧⎪
⎨=-++⎪⎩，
解得620x y =-⎧⎨
=-⎩，或40.
x y =⎧⎨=⎩，（此组数为B 点坐标）
∴所求的P 点坐标为(620)P -，．。