初中理科实验班数学初中数学目录第1讲实数与二次根式 (1)第2讲二次根式的运算 (8)第3讲二次根式的化简与求值 (14)第4讲一元二次方程 (18)-2-初中数学1第1讲实数与二次根式一.平方根与算术平方根:1.平方根的定义及其表示:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.例如:932=,那么,3就叫做9的平方根.同样的,3-也是9的平方根.我们知道,一个数的平方是非负数,且互为相反数的两个数的平方相同.因此,一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根0;负数没有平方根.正数a 的平方根记为a ±.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方,其中a 叫做被开方数.开平方与平方之间互为逆运算.2.算术平方根:正数a 有两个平方根(表示为a ±),我们把其中正的平方根,叫做a 的算术平方根,表示为a .0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即00=.3.算术平方根的非负性:a 的意义有两点(均为其非负性的体现):(1)被开方数a 表示非负数,即0≥a ;(2)a 也表示非负数,即0≥a .也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根,即0<a 时,a 无意义.4.平方根与算术平方根的区别与联系:平方根与算术平方根有以下区别与联系:(1)定义不同;(2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个;(3)表示方法不同:正数a 的平方根表示为a ±,正数a 的算术平方根表示为a ;(4)取值范围不同:正数的算术平方根一定是正数,正数的平方根是一正一负;(5)0的平方根与算术平方根都是0.初中数学25.常见算术平方根的近似值:许多算术平方根不能用我们以前学过的小数或分数准确地表示出来.这里,我们给出其中一些数的近似值:4142.12≈7321.13≈2361.25≈4495.26≈6458.27≈二.立方根与n 次方根:1.立方根的定义及其表示:同样的,类比平方根定义,如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根或三次方根,记作3a .正数的立方根为一个正数,负数的立方根为一个负数,0的立方根为0.求一个数a 的立方根的运算,叫做开立方,其中a 仍叫做被开方数.开立方与立方之间互为逆运算.2.n 次方根的定义及其表示:如果一个数的n 次方等于a ,那么这个数叫做a 的n 次方根:(1)如果n 为奇数,则记作n a ,其中a 叫做被开方数,n 叫做根指数;(2)如果n 为偶数,则记作n a ±,其中a 叫做被开方数,n 叫做根指数.并且0≥a ,0≥na .3.分数指数幂:若0>a ,n m 、均为正整数,则m n mna a =.三.无理数与实数:1.无理数的定义:无理数是不能表示成两个整数的比的数,即无限不循环小数.相反的,有理数为可以表示成两个整数的比的数.事实上,我们之前学过的整数、分数、有限小数、无限循环小数均为有理数,而π则是一个无理数.2.实数:有理数和无理数统称为实数,实数与数轴上的点是一一对应的.四.二次根式的定义:我们规定:形如)0(≥a a 的式子称为二次根式,其中“”称为二次根号,0≥a .五.二次根式的性质:初中数学3性质1:)0(2≥=a a a ;性质2:||2a a=.六.最简二次根式:我们知道,20202=.那你们有没有注意到一个让人惊讶的结论,那就是2)52(居然也等于20.这是为什么呢?推导过程如下:205452)52(222=⨯=⨯=.而20和52都是非负数,由此,我们得到了一个结论:5220=.让我们来分析一下为什么会有这样的结果,事实上,52202⨯=,而222=,所以5220=.同理,如果一个二次根式根号下是一个整数或整式,并且这个整数或整式含有可以开的尽方的因数或因式,那么都可以通过同样的方法将二次根式进行化简,化简后的结果称为最简二次根式.七.同类二次根式:如果几个二次根式化成最简二次根式后的被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.例如:2318228==,,那么,8和18就是同类二次根式.例1:已知12-a 的平方根是3±,13-+b a 的平方根是4±,求b a 2+的平方根.例2:16的平方根是___________,算术平方根是__________.例3:25-的相反数是___________,绝对值是__________.例4:一个数的算术平方根为62-a ,平方根为)2(-±a ,求这个数.初中数学4例5:已知b a 、分别是196、289的算术平方根,求多项式1)2(24422+--+-b a b ab a 的平方根.例6:(1)已知0|56|31=-+-y x ,求y x -的值;(2)已知实数y x ,满足01)1(1=---+y y x ,求y x 34-的值;(3)已知0962||2=-+-+-y y x ,求y x ,的值.例7:若295n +-是整数,求所有满足条件的整数n .例8:若等式2|2|222++-=+++b ba b b ab a 成立,那么b a 、应满足什么条件?例9:已知01<<-x ,化简:21212222+++-+x x x x .初中数学5例10:下列各式在什么条件下有意义:(1)ba +6(2)c b a 32(3)24x -(4)ab 23例11:计算:(1)665232+-(2)7142--例12:计算:(1)6531222-⨯(2)6131328193⨯⨯例13:比较8!8和9!9的大小.例14:把下列根式化为最简二次根式:=8=50=45=56=98=100=120=150=21=31=32=54c b a 2342(0>b a ,)233216a a +(0>a )232ab初中数学6例15:观察分析,探求规律,然后填空:,,,,,1022622……_________(请在横线上写出第100个数)例16:将aa --11)1(中的根号外面的因式移到根号里面.例17:已知最简二次根式45-x 与63+x 是同类二次根式,求x 的值.例18:证明2为无理数.例19:证明523+是无理数.初中数学7例20:计算:;_______2111122=++;_______3121122=++_______4131122=++.由此猜想:_______)1(11122=+++n n .根据你的猜想,计算:222222104611045113121121111+++⋯⋯++++++.例21:判断下列说法是否正确,若正确,请给出证明;若不正确,请举出反例.(1)如果y x ,都是有理数,那么y x +是有理数;(2)如果y x ,都是无理数,那么y x -是无理数;(3)如果y x ,都是无理数,那么xy 是无理数;(4)如果x 是有理数,y 是有理数,那么yx 是有理数.(5)如果x 是无理数,y 是无理数,那么y x 是无理数.初中数学8第2讲二次根式的运算一.二次根式的乘法与除法:从前面求最简二次根式的过程中,我们可以看到:)0(≥=⨯b a ab b a 、,这就是二次根式的乘法法则.反之,也可以得到二次根式的除法法则:)00(>≥=b a baba 、例1:计算:(1)5×7(2)13×9(3)123(4)3128÷例2:计算:(1)522225÷⨯⨯(2)21102112736112⨯÷例3:计算:abb a ab b 3)23(235÷-⋅(0>b a 、)例4:已知9966x xx x --=--,且x 为偶数,求)1(x +22541x x x -+-的值.二.二次根式的加法与减法:两个二次根式是同类二次根式,可以对其合并,即:)0()(≥±=±a a y x a y a x .这就是二次根式的加减法的运算法则.二次根式的加减法运算,通常分两步:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将其中的同类二次根式进行合并.例5:计算:(1)123319483+-(2)5122048-++例6:计算:xxx x 1246932-+(0>x )三.分母有理化:在二次根式的计算中,通常情况下,我们要求其结果中,分母不含根号.因此,对于分母上的根号,通常需要将其去掉.这一过程称为分母有理化,方法为分子、分母同时乘以分母的有理化因式.(1)对于最简二次根式a ,因为a a a =⨯,因此其有理化因式就是a .(2)对于b a +,根据平方差公式,b a b a b a -=-+))((,因此其有理化因式是b a -.同理,b a -的有理化因式是b a +.例7:分母有理化:(1)121-(2)132-(3)373+例8:计算:1.3231+821-5051 2.)321(++(321--)3.22)32()21(--- 4.2)2332(+5.222)7()62()3(--+- 6.)455112()3127(+--+7.)152811(322-⨯8.913.0)31(22-+-9.22)31()31(+--10.22)3(25)6(-+--11.)32224()61263(+--12.)2732(3+13.24)654(-14.)82(2+15.21223222330÷⨯16.21223151437⨯÷-17.)1021(32531-⨯⨯18.2484554+-+19.27464834÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-20.()()()2123523527---+二.含字母的二次根式的化简:注意式子中字母的取值范围.例9:化简:ba b ab ab ba b a ++÷-+)(例10:化简:aby x b a a b ab a xy a b x 222)(÷+-(0>b a ,)三.无理数比较大小:常用方法为平方法,估值法,分子有理化.例11:比较下列每组中两个数的大小:(1)347(2)1210+112(3)56-67-四.复合二次根式的化简:形如b a 2+的式子称为复合二次根式.因为ab b a b a 2)(2±+=±,所以:b a ab b a ±=±+2.所以:对于复合二次根式b a 2±,当:()x y ax y xy b +=⎧>⎨=⎩时,,y x b a ±=±2.例12:化简下列各式:(1)223+(2)288-(3)53+第3讲二次根式的化简与求值例1:求22222222-++++ 的值.例2:已知1992199411x x ⨯+=-求:2221244x x x x ++-++的值.例3:设实数()()()()19942121511111a a a a a x a a ⎛⎫+-++-⎪+=+⎪+ ⎪++⎝⎭,试求x 的个位数字.例4:化简()()3211133111113++++.例5:计算1111335335755749474749++++++++ .例6:已知11n n x n n +-=++,11n n y n n++=+-,n 为正整数,且2219123191985x xy y ++=.求n 的值.例7:化简3381813333a a a a a a +-+-++-.例8:求441143114322⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例9:已知111122x +=,求()199454322535754x x x x +--+的值.例10:已知44122x =-,求222424x x xx x x++++-+的值.例11:若1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,求2a b b++的值.例12:α,β分别表示137-的整数部分和小数部分,求()217ααβ-+的值.例13:已知a ,b 为有理数,且32752a b +=+,求a ,b 的值.例14:化简2199119921993199411992⨯⨯⨯+-.例15:设y 是与331221+-最接近的整数,求32y -的值.例16:已知0x ≠,求24411x x x x++-+的最大值.第4讲一元二次方程1.什么是一元二次方程形如)0( 02≠=++a c bx ax 的方程称为一元二次方程2.配方法解一元二次方程及方程的求根公式≠a ∴在方程02=++c bx ax 两边同时除以a 得:02=++ac x a b x 配方得:4)2(222=+-+a c ab a b x 移项得:22244)2(a ac b a b x -=+由上式可知:042>-ac b 时,aacb b x 242-±-=,此公式即为一元二次方程的求根公式.3.一元二次方程的判别式称ac b 42-=∆为一元二次方程的判别式,它可以用来判断一元二次方程的解的情况,判别方法如下:(1).0>∆时,方程有两个不等的实数根;(2).0=∆时,方程有两个相等的实数根;(abx x 221-==)(3).0<∆时,方程没有实数根.4.一元二次方程根与系数的关系——韦达定理对于一元二次方程02=++c bx ax (0≠a ),当0≥∆时,方程有两个实数根1x ,2x ,则方程的根与系数a ,b ,c 之间有如下关系:(1).ab x x -=+21(2).ac x x =215.韦达定理的证明当0≥∆时,方程有两个实数根1x ,2x ,并且aac b b x 2422,1-±-=aba b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+∴2224242221a caac a ac b b a ac b b a ac b b a ac b b x x ==--=---=---⋅-+-=222222222221444)4(44)(24246.关于求根公式,韦达定理,判别式的两点说明说明1:上述方法是对于一元二次方程的传统推导方法,证明过程为:配方⇒求根公式⇒韦达定理,下面给出另一种方法,先证明韦达定理,再推出求根公式.证明:0≠a ∴在方程02=++c bx ax 两边同时除以a 得:02=++ac x a b x 移项,整理得:ac x a b x =--)(令x aby --=,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c xy a b y x 易知x 是方程02=++c bx ax 的一个根,而由上述方程组关于x ,y 对称知y 是方程的另一个根!(注:这里这么说其实并不严谨,但本人很喜欢这种说法,它体现了数学的对称美!)所以x x =1,y x =2,代入上述方程组得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121至此,韦达定理证毕!下面推导求根公式:ab x x -=+21∴设t a b x +-=21,t a b x --=22代入a cx x =21得:22244)2)(2(a ac b t a c t a b t a b -=⇒=--+-∴(1).042>-=∆ac b 时,aacb t 242-=(2).042=-=∆ac b 时,0=t (3).042<-=∆ac b 时,t 不存在∴(1).042>-=∆ac b 时,方程有两个不等的实数根aac b b x 2422,1-±-=(2).042=-=∆ac b 时,方程有两个相等的实数根ab x x 221-==(3).042<-=∆ac b 时,方程没有实数根.说明2:关于判别式和韦达定理,其实,在推导出韦达定理后,可以反推出判别式与根的个数的关系,只需计算221)(x x -就可以了:acx x a b x x =-=+2121, 2222122122144)(4)()(a acb ac a b x x x x x x -=--=-+=-∴由此可知:(1).042>-=∆ac b 时,021≠-x x ,方程有两个不等的实数根(2).042=-=∆ac b 时,021=-x x ,方程有两个相等的实数根(3).042<-=∆ac b 时,21x x -在实数范围内不存在,方程没有实数根.7.二次三项式在实数范围的因式分解二次三项式)0( 2≠++a c bx ax ,当其判别式非负时,总能在实数范围内分解因式.))((212x x x x a c bx ax --=++,其中21x x ,为方程02=++c bx ax 的两个根,证明如下(从此证明可以方便地推出韦达定理并可推广到高次):21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根∴))()((212x x x x x f c bx ax --=++ c bx ax ++2是二次多项式,))((21x x x x --也是二次多项式∴)(x f 是零次多项式,即)(x f 是一常数c bx ax ++2中2x 的系数为a ,))((21x x x x --中2x 的系数为1∴ax f =)(∴21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比等式两边系数知:⇒⎩⎨⎧=+-=2121)(x ax c x x a b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121例1:不解方程,判断关于x 的方程的解的情况.(1)01172=+-x x (2)0121232=+-x x (3)01132=+-x x (4)932--=x x (5)11+=x x(6)52)2)(1(2-=-+x x x (7))13)(32(14--=+x x x (8)2)22(2=++-k x k x例2:用求根公式解下列方程(1)0762=+-x x (2)05722=--x x (3)07232=++-x x (4)9322+=x x 例3:在实数范围内分解因式(1)462--x x (2)532-+x x (3)71022++x x (4)932--x x 例4:已知方程0532=--x x 的两个根为21 x x ,,求下列式子的值:(1)2133x x +(2)214x x (3)2221x x +(4))34)(34(21--x x (5)2111x x +(6)2112x x x x +(7)||21x x -(8)3231x x +例5:已知关于x 的方程0)1()32(2=++++k x k kx ,则k 取何值时:(1)有两个不等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)有一个实数根;(4)没有实数根.例6:已知关于x 的方程0)1()12(22=-+-+k x k x 有两个实数根21 x x ,,分别在下列条件下求k 的取值范围:(1)0021>>x x ,(2)0021<<x x ,(3)1121>>x x ,例7:已知关于x 的方程06)26(222=++-k x k x 有两个实数根21 x x ,,分别在下列条件下求k 的值:(1)两根互为相反数(2)两根互为倒数(3)102221=+x x 例8:设方程012=++ax x 的一个根是231-=x ,求a 及方程的另一个根2x .例9:方程0132=+-x x 的两个根是21 ,x x ,分别写出以下列每组中两个数为根的方程:(1)5 2,(2)212 2x x ,(3)2 221+-+-x x ,(4)2121 x x x x ,+(5)2221 x x ,例10:如果0722=--p p ,0722=--q q ,q p ≠,求:(1)22qp +(2)qp 11+(3))1)(1(++q p 例11:已知关于x 的方程062=++ax x 有两个整数根,求a 所有可能的值.例12:解方程或方程组(1)03)1(2)1(2=----x x x x (2)0312)1(22=----x xx x(3)412)2(3212=-+++-x x x x (4)0365322=-++-xx x x (5)⎩⎨⎧=+=+11322y x y x (6)⎩⎨⎧=-=-21622y x y x 例13:如果方程 02=++c bx ax 有一个根1=x ,证明:0=++c b a 例14:已知1x ,2x 是方程032=-+x x 的两个根,求1942231+-x x 的值例15:已知关于关于x 的方程023=+++d cx bx ax 有三个根321,,x x x ,求根与系数的关系.。