2018年苍南中学自主招生选拔考试
数学答案
二、填空题（每小题6分，共42分）
9． 18
1 ； 10． 6：5 ； 11．
2 ；
12 ； 13． 6 ； 14． cm 4π ；
15． 4 .
三、解答题(本大题共4题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.（本题满分12分）
解：由方程①知：
∵120x x ⋅<，1x ＞2x ＞0 ∴1x ＞0，20x <
∴1220x x m +=+> 1220x x m ⋅=-<
∴－2＜m ＜2
由方程②知：
232m m
-= ∴2230m m --= ∴3m =（舍去），1m =-(△＞0) 代入②得：2(2)20x n x --+=
∵方程的两根为有理数
∴△＝()2228n k --=
∴△＝()2228n k --= ()()228n k n k -+--=
∴2422n k n k -+=⎧⎨--=⎩或2224
n k n k -+=-⎧⎨--=-⎩ ∴5n =或1n =-
17. （本题满分12分）
（1）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB =0
60，
∵∠BQD =0
30， ∴∠QPC =090，
设AP =x ，则PC =6−x ，QB =x ，
∴QC =QB +BC =6+x ，
∵在Rt △QCP 中,∠BQD =30∘，
∴PC =21QC ,即6−x =2
1(6+x )，解得x =2， ∴AP =2；
(2)当点P 、Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变。

理由如下：
作QF ⊥AB ，交直线AB 于点F ，连接QE ，PF ，
又∵PE ⊥AB 于E ，
∴∠DFQ =∠AEP =090，
∵点P 、Q 速度相同，
∴AP =BQ ，
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A =∠ABC =∠FBQ =060，
在△APE 和△BQF 中，
∵∠AEP =∠BFQ =090，
∴∠APE =∠BQF ，
∠AEP =∠BFQ ，∠A =∠FBQ ，AP =BQ ，
∴△APE ≌△BQF (AAS )，
∴AE =BF ,PE =QF 且PE ∥QF ，
∴四边形PEQF 是平行四边形，
∴DE =2
1EF ， ∵EB +AE =BE +BF =AB ，
∴DE =2
1AB ， 又∵等边△ABC 的边长为6，
∴DE =3，
∴点P 、Q 同时运动且速度相同时，线段DE 的长度不会改变。

18．（本题满分18分）
⑴由题意，1,1,2=+∴==++c b a c b a ，
抛物线顶点为A （2b -，4
2
b c -），设B （1x ，0），C （2x ，0），∵b x x -=+21，c x x =21，△＝042
>-ac b . ()()c b x x x x x x x x BC 4422122122121-=-+=-=-=∴
∵△ABC 为等边三角形，∴c b c b 42
3422-=-, 即c b c b 432422-⋅=-，∵,042>-c b ，∴3242=-c b
∵522,0164,12±-==-+∴-=b b b b c 所求b 值为522±-
⑵∵c b a ≥≥，若0<a ，则0,0<<c b ，0<++c b a ，与2=++c b a 矛盾.∴0>a ∵a c b -=+2，a bc 4=
，∴c b ,是一元二次方程()0422=+--a x a x 的两实根． ∴△＝()04422≥⨯--a a ，∴0164422≥-+-a a a ， 即()
(),0442≥-+a a ， 故4≥a
∵a bc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．
①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾；
②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0，
则｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，
∵ a ≥4，故2a －2≥6，当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故｜a ｜＋｜b ｜＋｜c ｜的最小值为6．
19．（本题满分18分）(1)设抛物线解析式为y =2ax +bx +c
将A (−2,2),B (6,6),O (0,0)三点坐标代入,得4a −2b +c =2，36a +6b +c =6，c =0，
解得a =41，b =2
1-，c =0， ∴y =x x 2
1412- (2)依题意，得直线OB 的解析式为y =x ，设过N 点且与直线OB 平行的直线解析式为y =x +m ， 联立y =x x 2
1412-，y =x +m ,得0462=--m x x ， 当△=36+16m =0时，过N 点与OB 平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N 到OB 的距离最大，所以△BON 面积最大，
解得m =49-,x =3,y =43,即N (3,4
3)； 此时△BON 面积=
21×6×6−21(43+6)×3−21×43×3=427； (3)过点A 作AS ⊥GQ 于S ，
∵A (−2,2),B (6,6),N (3,4
3)， ∵∠AOE =∠OAS =∠BOH =45∘，
OG =3,NG =43,NS =4
5，AS =5， 在Rt △SAN 和Rt △NOG 中，
∴tan ∠SAN =tan ∠NOG =4
1， ∴∠SAN =∠NOG ，
∴∠OAS −∠SAN =∠BOG −∠NOG ，
∴∠OAN =∠BON ，
∴ON 的延长线上存在一点P ,使得△BOP ∽△OAN ，
∵A (−2,2),N (3,4
3)， ∵△BOP 与△OAN 相似(点B. O 、P 分别与点O 、A. N 对应),即△BOP ∽△OAN ， ∴BO :OA =OP :AN =BP :ON
又∵A (−2,2),N (3,4
3),B (6,6)， ∴BO =62,OA =22,AN =4175,ON =4
173，
∴OP =41715,BP =4
179， 设P 点坐标为(4x ,x )，
∴162x +2x =2)4
1715(， 解得x =4
15，4x =15， ∵P 、P ′关于直线y =x 轴对称，
∴P 点坐标为(15,415)或(4
15,15).。