第四章 电磁学基础静电学部分4.2 解：平衡状态下受力分析 +q 受到的力为：20''41r qq F qq πε=()()24441l q q F q q πε=处于平衡状态：()04'=+q q qq F F()0441'412020=+l qq r q q πεπε （1） 同理，4q 受到的力为：()()()20'44'41r l q q F q q -=πε()()204441l q q F q q πε=()()04'4=+q q q q F F()()()04414'412020=+-l q q r l q q πεπε （2）通过（1）和（2）联立，可得： 3lr =，q q 94'-=4.3 解：根据点电荷的电场公式：re r q E 2041πε=点电荷到场点的距离为：22l r +22041l r qE +=+πε 两个正电荷在P 点产生的电场强度关于中垂线对称：θcos 2//+=E E0=⊥E22cos lr r +=θ所以：()232202222021412cos 2l r qrlr r l r qE E +=++==+πεπεθqlq+当l r >> 202024121r q r q E πεπε==与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q 组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q 的点电荷的电场分布一样。

4.4 解：取一线元θλRd dq =，在圆心处产生场强：20204141R Rd R dq dE θλπεπε==分解，垂直x 方向的分量抵消，沿x 方向 的分量叠加：RR Rd dEx00202sin 41πελθθλπεπ==⎰⎰方向：沿x 正方向4.5 解：（1）两电荷同号，电场强度为零的点在内侧； （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。

4.7 解：线密度为λ，分析半圆部分：θλλrd dl dq ==点电荷电场公式：r e r q E 2041πε=在本题中： 241rrd E θλπε=电场分布关于x 轴对称：θθλπεθsin 41sin 2r rd E E x ==，0=y E进行积分处理，上限为2π，下限为2π-：rd r r rd E E 000022sin 4sin 41sin πελθθπελθθλπεθππ====⎰⎰⎰方向沿x 轴向右，正方向 分析两个半无限长：)cos (cos 4d sin 4210021θθπελθθπελθθ-===⎰⎰xx dE E x x )sin (sin 4d cos 4120021θθπελθθπελθθ-===⎰⎰xx dE E y yx21πθ=，πθ=2， x E x 04πελ=，xE y 04πελ-= 两个半无限长，关于x 轴对称，在y 方向的分量为0，在x 方向的分量：rr E E x 002422πελπελ=== 在本题中，r 为场点O 到半无限长线的垂直距离。

电场强度的方向沿x 轴负方向，向左。

那么大O 点的电场强度为：02200=-+=rr E πελπελ 4.8 解：E 的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R 为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。

所以通过S1和S2的电通量等效于通过以R 为半径圆面的电通量，即：E R221π=Φ=Φ4.9 解：均匀带电球面的场强分布：()()R r R r r Q E <>⎪⎩⎪⎨⎧=0π420ε球面R 1、R 2的场强分布为：()()112010π4R r R r r q E <>⎪⎩⎪⎨⎧=ε()()222020π4R r R r r q E <>⎪⎩⎪⎨⎧-=ε根据叠加原理，整个空间分为三部分：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=-+=+<<=+<=+=2202021212021********R r r q r q E E R r R r q E E R r E E E πεπεπε 根据高斯定理，取高斯面求场强：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+<<<==⋅=Φ⎰202101204R r q q R r R q R r E r S d E Sεεπ 图4-94 习题4.8用图场强分布：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=221201040R r R r R r qR r E πε方向：沿径向向外4.10 解：（1）、这是个球对称的问题24r E dS E S d E SSe π==⋅=Φ⎰⎰当R r >时，高斯面对包围电荷为Q24επQr E =24επr QE =当R r <，高斯面内包围电荷为q33333434RQr R Q r q ==ππ30324RQr r E επ= 304R QrE πε=方向沿径向（2）、证明：设电荷体密度为334R Qπρ=这是一个电荷非足够对称分布的带电体， 不能直接用高斯定理求解。

但可以把这一带 电体看成半径为R 、电荷体密度为ρ的均匀 带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的 均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时 补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。

由电场 叠加原理，空腔内任一点P 的电场强度为：21E E E +=在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： r E31ρ=在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： '32r Eρ-= 所以()a R Q a r r E E E30002143'3πεερερ==-=+=4.11 解：利用高斯定理，把空间分成三部分()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<-<==⋅=Φ⎰2313202131301234134104R r R R R r R R r R r E r S d E Sρπερπεπ 场强分布： ()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<<-<=231322021313201330R r R R rR r R R r r R r E ερερ方向：沿径向向外4.12 解：取闭合圆柱面为高斯面，高斯定理()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><==⋅=Φ⎰R r R l R r r l rlE S d E S2022ερπερππ场强分布：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=R r r R R r r E 02022ερερ方向沿径矢方向4.14 解：无限大带电平面的电场分布为：02εσ=E ，场强叠加 （1）电荷面密度均为σ在一区：0022εσεσ=⨯=E 在二区：02200=-=εσεσE 在三区：0022εσεσ=⨯=E σσ02εσ=E 02εσ=E 02εσ=E 02εσ=E 一二三σ在二区：00022εσεσεσ=--=E 在三区：02200=-+=εσεσE 方向为垂直于平面方向4.16 解：把总的电场力做功看做是正电荷+q 电场力做功和负电荷-q 电场力做功的叠加， 得用公式(4—14)：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰b a r r r r Qq dr r Qq A ba 114400200πεπε （1）把单位正电荷从O 点沿OCD 移到D 点，电场力做功。

设试验电荷电量为q 0。

正电荷+q 的电场力做功：l qq l l qq A 000063114πεπε=⎪⎭⎫⎝⎛-=+ 负电荷-q 的电场力做功：011400=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-l l qq A πε 总的电场力做功：lqq A A A 0006πε=+=-+ 对单位正电荷做功为：lq q A A 0006πε==（2）把单位负电荷从AB 的延长线移到无穷远处，电场力对它对做功。

设试验电荷电量为-q 0。

正电荷+q 的电场力做功：()⎪⎭⎫⎝⎛∞--=+131400l q q A πε 负电荷-q 的电场力做功：()⎪⎭⎫⎝⎛∞---=-11400l q q A πε 总的电场力做功：()()lqq l q q l q q A A A 0000000614314πεπεπε=--+-=+=-+对单位负电荷做功为：q A A 0==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=R r RQ R r r Q r U 0044πεπε结合本题，先写出各个球面的电势分布，再利用电势叠加原理。

对于球面1：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=11011011044R r R q R r rq U πεπε 对于球面2：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=22022022044R r R q R r r q U πεπε整个空间内，电势分三部分：202101144R q R q U R r πεπε+=≤ 对应于红色部分202012144R q r q U R r R πεπε+=≤≤ 对应于蓝色部分rq rq U R r 0201244πεπε+=≥ 那么两个球面上的电势：2021011144R q R q U R r πεπε+==2022012244R q R q U R r πεπε+==两个球面之间的电势差为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∆210120110111444R R q R q R q U πεπεπε 此题也可得用积分来求 ⎰∞⋅=Rl d E U4.22 解：做一闭合圆柱面为高斯面，求两个无限长同轴圆筒间的电场强度212επλr E R r R =≤≤1200ln 222121R Rdr r l d E U R R R R πελεπλ==⋅=∆⎰⎰4.23 解：取无穷远处为电势零点设导体球带电量为q ’-由于点电荷q 的存在，我们并不清楚导体 球面上电荷的具体分布，但是球面上任何电荷元 dq 到球心的距离都是R 。

导体球是等势体，只 需求出球心的电势就可以了。

电势叠加原理rq Rdq U q 0'044πεπε+=⎰式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷q 在球心处的电势，积分得rq Rq U 0044'πεπε+=此为点电荷q 电场影响下的，导体球的电势，根据题设，导体球电势为0044'00=+=rq Rq U πεπε可得：q rRq -=' 4.28 解：基本的电容题，写出各个量24m 1050-⨯=S ，m 1014-⨯=d ，0.2=r ε，F/m 1085.8120-⨯=ε利用有介质时的平行板电容器的电容公式：F 1085.810110501085.821044120----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==d SC r εε 每个极板上的电荷量为：C 1085.81001085.8810--⨯=⨯⨯==CU Q4.30 解：充电后把电源断开，平行板电容器两个极板上的带电量不变，为Q 0。