n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) xiai
i 1
n
f 称为几何平均型模糊综合函数.其中 a i是几
何权数.
（3） 单因素决定型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是正规化权向量，
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
Bi Ai T Ri
(i ) r11 (i ) r21 (ai1 , ai 2 ,, aini ) T (i ) rni 1
r r r
(i ) 12 (i ) 22

(i ) ni 2
r r (i ) rni p
这时需采取多层次评判来解决这类问题. 多层次综合评判的步骤： 1. 因素分类
将因素集 U {u1 , u2 ,, un } 按某种属性 分为s类，即 满足条件：
Ui (ui1, ui 2 ,, uini ), i 1,2,, s
(1) n1 n2 ns n ;
(2) U1 U 2 U s U ;
A (a1 , a2 ,, an ) 是给定 是正规化评判矩阵，
的正规化权向量，则综合评判 ( y1 , y2 ,, ym ) 也是正规化的.
（3） 若 f f 是几何平均型
评判
n 元模糊
综合函数，且 R 和 A 是归一化的，而综合
( y1 , y2 ,, ym ) 未必是归一化的. 若 R 和 A 是正规化的，综合评判 ( y1 , y2 ,, ym )
在使用 M (,) 模型和
M (, T ) 模型前将
归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价 正规化，最后将评价结果归一化.
例1 以服装评判为例，设因素集和评判集为
U {花色，式样，耐穿性，价格，舒适程度} V {很欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎}
对某一种服装，请若干专门人员进行单因素评
一般地，记因素集为 U {u1 , u2 ,, un }. 记评判集为V
{v1 , v2 ,, vm}.
对于花色式样，进行单因素评价，得到
(u1 ) (0.7, 0.2, 0.1, 0). (u1 ) 为对花色
式样的评价. (u1 )(v1 ) 0.7 表示该服装在 花色式样上的很受欢迎的程度.
为 M (,) 模型.
评判矩阵，也有两种情形： （1） 归一化评判矩阵，即 i, （2） 正规化评判矩阵，即
r
j 1
n
ij
1;
i, rij 1.
j 1
n
与权向量一样，归一化评判矩阵与正规化评判
矩阵可以相互转化.
关于综合评判的归一化的结论： （1） 若 合函数，且
f f 是加权平均型
(3) (i, j) (i j Ui U j ) .
U
U1
U2
„„
Us
u11 „„ u1n1 u21 „„ u2n2 „„ us1 „„ usns
2. 建立评判集
3. 建立权重集
V {v1, v2 ,, v p }
（1） 因素类权重集
设第 则因素类权重集为 A (a1 , a2 ,, as ) （2） 因素权重集
将R正规化得到
0 .4 1 .0 0 .2 0 .6 R * 0 0.17 0 .8 0 1.0 0.6
0 .6 0 1 .0 0 . 2 1 .0 0 . 5 1 .0 0 . 2 0 .4 0
现假设某类男顾客，所给权重为
A1 (0.1, 0.1, 0.15, 0.3, 0.35)
综合考虑各种评价因素，得到对 U 的综 合评价为：
[ f ( (u1 )(v1 ), (u2 )(v1 ),, (un )(v1 )), f ( (u1 )(v2 ), (u2 )(v2 ),, (un )(v2 )),, f ( (u1 )(vm ), (u2 )(vm ),, (un )(vm ))]
判. 只考虑花色式样，若有20%的人很欢迎，
有50%的人比较欢迎，有30%的人不太欢迎，
便可以得出
花色
R1 (0.2, 0.5, 0.3, 0) R2 (0.1, 0.3, 0.5, 0.1)
类似地，假设其他因素的单因素模糊评判为 式样 耐穿性 价格 舒适程度
R3 (0, 0.1, 0.6, 0.3)
的一个数来表明元素的隶属度。这个集合就是
模糊集合。
内容提纲
一、模糊综合评价
二、多层次模糊综合评价
三、层次分析法与因素权重模糊集
一、模糊综合评价
例1：评价某种服装，应先对“花色式样” “耐穿程度”“价格费用”等进行评判，然 后综 合. 设评判因素集 U {花色式样，耐穿程度， 价格费用}.评判集V {很欢迎，比较欢迎， 不太欢迎，不欢迎}.
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) ai xi
i 1
n
f 称为加权平均型模糊综合函数.其中 a i可以
解释为第 i 个因素在综合评判中所占比重.
（2） 几何平均型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是归一化权向量，
, 为第 i 种评判因素对第 j 其中， 0 rij 1
项评判的隶属度.
（4） 综合评判，选择合适的模糊综合函数 f 进行综合.用 U 上的一个模糊集 A (a1 , a2 ,, an ) 表示各因素的权重分配，令
y j f (r1 j , r2 j ,, rnj ), j 1,2,, m
(i ) (i ) (i ) r11 r12 r1 p (i ) (i ) (i ) r r r 21 22 2p Ri (i ) (i ) (i ) r r r n 1 n 2 ni p i i
第
i
类因素的模糊综合评判为
二、 多层次模糊综合评判
由于对复杂事物的评判要涉及的因素往往很
多，而每个因素都要赋予一定的权重，故当因
素很多时，必然存在以下问题： （1） 权重难以适当分配. 因为因素太多时， 人的主观判断很难判断准确； （2） 得不到有意义的评判结果. 因为当因素 很多时，归一化的权重必然很小，难以真实地
反映各因素在整体中的地位.
则定义
( y1 , y2 ,, ym ) 为综合评判.其中 y j 是
就整体而言，获得第
j 个评语的隶属度.
若取 f f , 则综合评判为 B A R, 该评 判模型称为 M (,) 模型. 若取 f f T , 则综合评判为 B A T R, 该
评判模型称为 M (, T )模型，特别地，T ,
也未必是正规化的. 因此，当使用几何平均 型模糊综合函数时，对所得结果都应作归一 化或正规化处理，以便与其他方法比较.
（4） 当权重是归一化时，函数 f f 或
f f T 一般不满足正则性. 但在实际应用中，
归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价
更容易被人接受，使用起来更方便. 因此，
i 类因素 Ui
的权数为 ai (i 1,2,, s)
uij 的权数为 aij , 则因素权重集为 Ai (ai1 , ai 2 ,, ain ),
设第
i 类中的第
j 个因素
i 1,2,, s
i
4. 一级综合评判 对一类的各个因素进行综合评判.设一级模糊 综合评判的单因素评判矩阵为
将其正规化得
A (0.29, 0.29, 0.43, 0.86, 1.0)
* 1
则选用 M (,) 模型可以求得此类顾客对
这种服装的模糊综合评判为
B A R (1.0, 0.8, 0.86, 0.43)
* 1 * 1 *
再归一化得到
B1 (0.3236 , 0.2589 , 0.2783 , 0.1392 )
R4 (0, 0.4, 0.5, 0.1)
R5 (0.5, 0.3, 0.2, 0)
所有单因素评判组成的评判矩阵
0 .2 0.1 R 0 0 0 .5
0 .5 0.3 0 0.3 0.5 0.1 0.1 0.6 0.3 0.4 0.5 0.1 0.3 0.2 0
（2） 若权向量 A (a1 , a2 ,, an ) 是正规 化的，令 ai* ai

a
k 1
n
k
(i 1,2,, n),
* * * 则 A* (a1 , a2 ,, am ) 是归一化权向量.
模糊综合评判常用的几种模糊综合函数： （1） 加权平均型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是归一化权向量，
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) {ai xi }
i 1
n
f 称为单因素决定型模糊综合函数.
（4） 主因素突出型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是正规化权向量，
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f T ( x1 , x2 ,, xn ) {ai T xi }
模糊数学又称Fuzzy数学，是研究 和处理模糊性现象的一种数学理论和 方法.
比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定 属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定 不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出 的公式， 55岁属于“老”的程度为0.5，即“ 半老”，60岁属于“老”的程度0.8。指明各个 元素的隶属于这个集合时，通常还指定[0,1]上