模糊集合的表示方法： 设论域U {x1 , x2 , , xn }是有限论域，U 上的模糊集 A, 其隶属函数为 A xi）（i=1,2,,n) （
: :
(1)扎德表示法
A x1） A x2） （ （ A xn） （ A : : : : x1 x2 xn
(2)序偶表示法 A （x1， x1）），（x2， x2））， ，（xn， xn）） { A （ A （ L A （
1 n ( xij x j ) 2 n i 1
1 n 其中 x j xij , s j n i 1
平移 • 极差变换 xij min{ xij | 1 i n} xij max{ xij | 1 i n} min{ xij | 1 i n}
模糊相似关系
若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关 系，且满足：
(1) 自反性：R( x , x ) = 1；
(2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ；
则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时，X 上的一 个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I ≤R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).
第一部分
模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集
1.3 模糊关系
1.4 模糊等价关系与经典等价 关系
y
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经 典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子 集就是模糊子集的特殊情形.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， [0,1], R 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础
2.3 模糊综合评判基础
2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 对象又由m个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为
x11 x21 ... x n1
x12 x22 ... xn 2
... x1m ... x2 m ... ... ... xnm
平移 • 标准差变换
xij
xij x j sj
(i 1,2,..., n, j 1,2,..., m)
0(A, B) =[A ° B + (1 -A⊙B)]/2,
将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序 列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.
§2.2 模糊模型识别
模型识别
已知某类事物的若干标准模型，现有这类事 物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这 就是模型识别.
模糊模型识别
: : : :
(3)向量表示法 A A x1）， x2）， ， xn）） （（ A （ A （
: : : :
一般，若0 ai 1, i 1, 2, , n, 则称a (a1 , a1 , , an ) 为模糊向量.
例1 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身 高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属 函数A(x)可定义为 x 140 x 100 A( x) A( x) 190 140 200 100 也可用Zadeh表示法：
模糊数学建模方法
于 鹏 陕西科技大学理学院
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
模糊相似矩阵建立方法
相似系数法 ----夹角余弦法
m
rij
xik x jk
k 1
x
k 1
m
2 ik
x
k 1
m
2 jk
相似系数法 ----相关系数法
rij
|x
k 1
m
ik
xi | | x jk x j |
2
(x
k 1
m
ik
xi )
(x

m
ik
x jk )
2
切比雪夫距离
d (xi, xj ) = ∨{ | xik- xjk | , 1≤k≤m}
具体的聚类过程 在模糊聚类分析中，对于各个不同的 ∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成 一种动态聚类图，这对全面了解样本分类 情况是比较形象和直观的.
(1) 已知类别DNA序列的模糊分类 提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的 百分含量构成如下矩阵：X = (xij)20×4,其中xi1, xi2, xi3, xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分 含量. 采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然 后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.
模糊关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
§1.3 模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广. 设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
(2) 确定最佳分类 将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳： A1 ={1,2,3,5,6,7,8 9,10}, A2 ={4,17}, A3 ={11,12,13,14,15,16,18,19,20}. 建立标准模型库：A1, A2, A3. (3) 未知DNA序列的模糊识别 采用格贴近度公式：
模糊关系的运算 由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集， 因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质. 设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系. 相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)； 包含： R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)； 并： R1∪R2 的隶属函数为 (R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)； 交： R1∩R2 的隶属函数为 (R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)； 余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).
xj)
1 k
2
其中
m m 1 1 . kj x j x , kix ix m 1 k m
距离法
rij = 1 – c d (xi, xj ) 其中c为适当选取的参数. 海明距离
d ( xi , x j ) | xik x jk |
k 1
m
欧氏距离
d ( xi , x j )
所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型 是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是 模糊的.
模糊模型识别的类型 （1）具体元素对模糊模型的识别问题。给定 了标准模型库A1, A2,…, Am？ 问对象x属于上述模型库的哪一类? （2）模糊元素对模糊模型的识别问题。给定 了标准模型库A1, A2,…, Am中的哪一类？ 问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象 X本身就是模糊的。
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R ( rii =1 ) (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R( rij= rji) R (3)传递性：R2R, R2≤R. 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.
最大隶属原则
最大隶属原则Ⅰ 设论域X ={x1, x2, … , xn } 上有m个模糊子集A1, A2, … , Am(即m个模型),构 成了一个标准模型库,若对任一x0∈X,有k∈{1, 2, … , m },使得 Ak(x0)=∨{A1(x0), A2(x0), … , Am(x0)}， 则认为x0相对隶属于Ak . 最大隶属原则Ⅱ 设论域X上有一个标准模 型A,待识别的对象有n个：x1, x2, … , xn∈X, 如果 有某个xk满足 A(xk)=∨{A(x1), A(x2), … , A(xn)}, 则应优先录取xk .